zufallsvariable

22.06.2004, 20:04	venora	Auf diesen Beitrag antworten »
zufallsvariable Sei Omega die menge aller Bijektionen auf (1,...,n) und X die Zufallsvariable, die jeder bijektion die Anzahl ihrer Fixpunkte zuordnet. a) bestimme E(X) für n=1,2,3,4 b) beweise oder widerlege E(X)=1 für n $\begin{align} \in \calN \end{align}$ EDIT: Hab mal deine Formel verbessert. Anirahtak
23.06.2004, 21:46	venora	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable Hallo! Brauche die Aufgabe dringend!! Wer kann weiter helfen??
23.06.2004, 23:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir definieren für $\begin{align} 1 \leq i \leq n \end{align}$ die Zufallsvariable $\begin{align} Y_i \end{align}$ durch $\begin{align} Y_i(\omega) \ = \ \{\array{1&falls \ \omega(i)=i\\0&falls \ \omega(i)\neq i} \end{align}$ Die Wahrscheinlichkeit für 1 ist (n-1)!/n! = 1/n (denn die Stelle i ist fest, während die anderen n-1 beliebig permutiert werden können). Somit gilt: $\begin{align} E(Y_i) \ = \ 1 \cdot \frac{1}{n} + 0 \cdot ... \ = \ \frac{1}{n} \end{align}$ Dann ist $\begin{align} X \ = \ \Bigsum_{i=1}^n~Y_i \end{align}$ , und es gilt: $\begin{align} E(X) \ = \ E(\Bigsum_{i=1}^n~Y_i) \ = \ \Bigsum_{i=1}^n~E(Y_i) \ = \ \frac{1}{n} \cdot n \ = \ 1 \end{align}$
23.06.2004, 23:11	venora	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable Vieln Dank! Hast du auch ne Idee für a)?
23.06.2004, 23:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist in b) enthalten durch Spezialisierung. Du kannst es aber auch direkt sehen; z.B. n=3: Permutation 1 2 3 Anzahl der Fixpunkte: 3 1 3 2 Anzahl der Fixpunkte: 1 2 1 3 Anzahl der Fixpunkte: 1 2 3 1 Anzahl der Fixpunkte: 0 3 1 2 Anzahl der Fixpunkte: 0 3 2 1 Anzahl der Fixpunkte: 1 E(X) = 0·(2/6)+1·(3/6)+3·(1/6) = 1

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