Satz über rationale Nullstellen

27.03.2011, 15:00	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz über rationale Nullstellen Hallo, ich bin gerade auf etwas interessantes Aufmerksam geworden und zwar auf den Satz über rationale Nullstellen. Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen. $\begin{eqnarray} x_0=\frac{p}{q} \end{eqnarray}$ Wenn ich mir nun Beispielshalber eine Funktion raussuche, $\begin{eqnarray} f(x)=2x^3-3x^2+5x-10 \end{eqnarray}$ Hat die Funktion ganzzahlige Polynome. Nun müsste ich ja das Absolutglied und den Leitkoeffizienten nehmen sprich, $\begin{eqnarray} x_0=\frac{-10}{2} \end{eqnarray}$ Ich weiß allerdings nicht so richtig wie man das nun anwendet, kann mir da jemand helfen?
27.03.2011, 15:06	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Satz steht, dass der Zähler der Nullstelle, also $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , das Absolutglied teilen muss, also $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ muss 10 teilen. Damit bleiben die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} p=1,2,5,10 \end{eqnarray}$ . Der Nenner, also $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ muss den Leitkoeffizienten teilen, also die 2. Es bleiben die Möglichkeiten $\begin{eqnarray} q=1,2 \end{eqnarray}$ . Nun baust du alle möglichen Kombinationen zusammen: $\begin{eqnarray} x_0=\frac{1}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{2}{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{2}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{5}{1} \end{eqnarray}$ ... und wenn das Polynom eine rationale Lösung hat, dann ist taucht die nach dem Satz in der Liste auf.
27.03.2011, 15:10	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, hat mir super geholfen.
27.03.2011, 15:12	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Die jeweils negative Zahl nicht zu vergessen
27.03.2011, 15:16	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Eins finde ich aber komisch, die Nullstelle muss $\begin{eqnarray} x=1,7278 \end{eqnarray}$ Sein, allerdings erhält man es durch den Satz nicht?
27.03.2011, 15:24	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Da system-agent offline scheint... Nein, x=1,7278 ist ein gerundeter Wert für eine Nullstelle. Die tatsächliche Nullstelle ist eine irrationale Zahl. Der obige Satz sagt nur aus, dass wenn es rationale Nullstellen gibt, dann haben sie die genannte Eigenschaft. Der Satz sagt nicht, dass man damit alle Nullstellen erhält. Er sagt auch nicht, dass es immer rationale Nullstellen gibt. Du kannst dir das auch am einfacheren Beispiel $\begin{eqnarray} x^2-2=0 \end{eqnarray}$ klar machen.
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27.03.2011, 15:28	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also bei deinem Beispiel, $\begin{eqnarray} x^2-2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_0=\frac{2}{1} \end{eqnarray}$ Also für $\begin{eqnarray} p=\{2,1\} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} q=\{1\} \end{eqnarray}$ Ja? Edit: Wobei man natürlich sieht, dass die Nullstelle irrational ist. Hast du denn auch ein Beispiel für eine rationale Nullstelle wo der Satz auch anwendbar ist?
27.03.2011, 15:34	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das heißt: Wenn es eine rationale Nullstelle gibt, dann ist es eine aus der Menge $\begin{eqnarray} \frac{1}{1},-\frac{1}{1},\frac{2}{1},-\frac{2}{1} \end{eqnarray}$ Ist keine dieser Zahlen eine Nullstelle, so gibt es keine rationale Nullstelle. Das weißt du vermutlich aber auch ohne diesen Satz, denn die Gleichung hat die Lösungen $\begin{eqnarray} x_{1,2}=\pm\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Beispiel für eine rationale Nullstelle: $\begin{eqnarray} f(x)=3x^2+4x-4 \end{eqnarray}$

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