Kettenregel, Differenzierbarkeit

27.03.2011, 16:50	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel, Differenzierbarkeit Sei $\begin{eqnarray} U\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offen und seien $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ differenzierbare Abbildungen. Zu zeigen ist nun, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ dann auch differenzierbar ist. Ausserdem ist die Ableitung auf U anzugeben. Leider verstehe ich die Kettenregel noch immer nicht. Man sagt $\begin{eqnarray} \frac{d(f\circ \gamma)}{dt} (t_0)=df(a)\cdot \dot{\gamma}(t_0) \end{eqnarray}$ . Was soll dieses komische $\begin{eqnarray} \dot{\gamma} \end{eqnarray}$ ? Wie kann ich zeigen, dass die Abbildung differenzierbar ist? Wäre froh um Hilfe, vielen Dank schon im Voraus!!
27.03.2011, 18:30	Nadia..	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel, Differenzierbarkeit $\begin{eqnarray} \dot{\gamma} \end{eqnarray}$ ist nichts anderes als die ableitung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ Der Beweis ist an sich nicht schwer aber gewöhnungsbedürftig. Ich schreibe dir das auf, stell bitte fragen, wenn was nicht verstehst. $\begin{eqnarray} (f \circ \gamma)'(t_0) &= \lim_{t \to t_0}\frac{f\big(\gamma(t)\big)-f\big(\gamma(t_0)\big)}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0}\frac{\frac{f(\gamma(t))-f(\gamma(t_0))}{\gamma(t)-\gamma(t_0)}\big)\cdot\big(\gamma(x)-\gamma(x_0)\big)}{t-t_0} \\ &= \lim_{t \to t_0} \frac{f(\gamma(t))-f(\gamma(t_0))}{\gamma(t)-\gamma(t_0)}\big)\cdot\lim_{t \to t_0}\frac{\gamma(x)-\gamma(t_0)}{t-t_0} \\ &= f'\big(\gamma(t_0)\big)\cdot \gamma'(t_0). \end{eqnarray}$
27.03.2011, 18:53	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel, Differenzierbarkeit Vielen Dank für die Antwort. Das ist ja genau der Beweis der Kettenregel im eindimensionalen... Bist du dir sicher, dass das auch im mehrdimensionalen gilt? Im mehrdimensionalen gilt ja nicht: $\begin{eqnarray} \lim_{t\rightarrow t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=f'(t) \end{eqnarray}$ Wie kann ich jetzt noch zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} g\circ f \end{eqnarray}$ differenzierbar ist? LG
27.03.2011, 19:04	Nadia..	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry hab das übersehen, dass es sich hier um R^n handelt. nein das gilt nicht. Muss dich noch ein bisschen gedulden. Lg
27.03.2011, 19:52	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
@Nadia In deinem Beweis musst du viel vorsichtiger sein. Was, falls $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ konstant ist? Dann hättest du einen Nenner der Null ist...
27.03.2011, 20:08	Nadia..	Auf diesen Beitrag antworten »
oh das stimmt, dann müsste ich ja ein Fallbuntscheidung machen, oder? Ich bin gerade am überlegen, ob man diesen Beweis auf R^n übertragen kann, wenn das Bild $\begin{eqnarray} C \subset R \end{eqnarray}$ ist. Lg
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28.03.2011, 08:09	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
@Wombat91 Du solltest dir zuallererst nochmal die Aussage der Kettenregel bzw Differenzierbarkeit ansehen. Falls du gezeigt hast, dass zb der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{t \to t_0}\frac{f\big(\gamma(t)\big)-f\big(\gamma(t_0)\big)}{t-t_0} \end{eqnarray}$ existiert, dann hast du doch schon [per Definition] bewiesen dass die Funktion $\begin{eqnarray} f\circ\gamma \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. Das Schöne daran ist, dass der Beweis der Existenz gleich noch eine Regel liefert, wie man die Ableitung einer solchen Verkettung bekommt [nämlich die Kettenregel]. @Nadia Weil es derselbe Aufwand ist, würde ich gleich den Fall $\begin{eqnarray} f: U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma: \mathbb R^m\to\mathbb R^k \end{eqnarray}$ betrachten. Nutze die Darstellung der Ableitungen als lineare Approximationen.

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