Newtonverfahren

27.03.2011, 19:20	Grandement	Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonverfahren Hallo, Da ich nicht mehr weiter wusste, dachte ich mir, sich hier einmal anzumelden. Zur Aufgabe: Folgende Funktion hat genau eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} \hat x = 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f(x) =\begin{cases} x^{4/3}, & x \ge 0\\ -\|x\|^{4/3}, & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Es soll das Newtonverfahren verwendet werden, um diese Nullstelle auch numerisch zu bestimmen. Berechen Sie zunächst die Iterationsvorschrift und bestimmen Sie damit die Konvergenzordnung. Warum ergibt sich kein Widerspruch zur quadratischen Konvergenz der allgemeinen Theorie? Zeigen Sie anschließend, dass $\begin{eqnarray} \|X_{k+1}\|=(1/4)^{k+1} \|x_0\| \end{eqnarray}$ und bestimmen Sie die Nullstelle als Grenzwert dieser Folge. Für welchen Startwert konvergiert die Folge des Newtonverfahrens? Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} f'(x) =\begin{cases} 4/3 x^{1/3}, & x > 0\\ 4/3 (-x)^{1/3}, & x < 0 \end{cases} \end{eqnarray}$ Newton Verfahren: $\begin{eqnarray} x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1. x_{k+1}=x_k-\frac{x^{4/3}}{ 4/3 x^{1/3}}=x_k-3/4x_k=1/4x_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2. x_{k+1}=x_k-\frac{-\|x\|^{4/3}}{4/3 (-x)^{1/3}}=x_k-3/4x_k=1/4x_k \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x \not= 0 \end{eqnarray}$ konvergiert es gegen null. $\begin{eqnarray} \|x_{k+1} - x_k\| \le 3/4 \|x_k\| \end{eqnarray*}$ Mit dem Rest der Aufgabe habe ich leider Probleme, ggf. ist mein Ansatz ja auch falsch. Ich bitte um Hilfe. mfg Grandement.
28.03.2011, 20:14	Grandement	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab noch ein wenig im Internet gesucht. Es soll kein Widerspruch zur quadratischen Konvergenz der allgemeinen Theorie sein, da f in 0 nicht zweimal stetig differenzierbar ist. Aber ich weiß nicht was mir das jetzt genau sagen soll. Edit: Also die Konvergenzordnung ist linear Konvergent wegen dem $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} x_k \end{eqnarray}$ soweit ich weiß. Bei dem hier bräuchte ich auch noch Hilfe. Zeigen Sie anschließend, dass $\begin{eqnarray} \|X_{k+1}\|=(1/4)^{k+1} \|x_0\| \end{eqnarray}$ und bestimmen Sie die Nullstelle als Grenzwert dieser Folge. Für welchen Startwert konvergiert die Folge des Newtonverfahrens? Gruß Grandement.

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