Taylorreihe e^(-x)

27.03.2011, 20:48	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe e^(-x) Hi. Ich soll die Funktion e^(-x) als Taylorreihe darstellen. Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{1}{k!} \cdot x^{k} - \frac{1}{(k+1)!} \cdot x^{(k+1)} ) \end{eqnarray}$ Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
27.03.2011, 20:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt so nicht. Wenn Du dir die ersten Gleider der Reihe aufschreibst, merkst Du auch, dass sich die Terme gegenseitig aufheben, was ja für die Taylorreihe nicht zutreffen wird. Schau Dir mal die Taylorreihe der Funktion e^x an und überlege Dir, was bei $\begin{eqnarray} e^{-x} \end{eqnarray}$ anders ist. Solltet ihr die Reihe nicht benutzen dürfen, dann schau nach Regelmässigkeiten in den Ableitungen von $\begin{eqnarray} f(x)=e^{-x} \end{eqnarray}$ .
27.03.2011, 21:13	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Danke für deine Antwort. Also, als Funktionswerte für $\begin{eqnarray} f^{i'}(0) \end{eqnarray}$ erhalte ich bei e^(-x) ja abwechselnd immer 1 und -1, während es bei immer 1 ist. Wie stelle ich das aber jetzt als Summe dar, diesen Wechsel von 1 und -1?
27.03.2011, 21:15	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst Du vielleicht eine möglichst einfache Funktion, die nacheinander die Werte 1,-1,1,-1 usw. auf $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ annimmt?
27.03.2011, 21:21	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fällt mir natürlich die Sinusfunktion ein, aber gibt es auch eine möglichkeit ohne diese?
27.03.2011, 21:22	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, es gibt eine einfache Potenzfunktion (also a^n mit geeignetem a)
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27.03.2011, 21:31	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, (-x)^n?
27.03.2011, 21:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
So könnte man es schreiben, ja. Aber wenn du nur x^n haben willst? Wie käme dann das "-" aus der Klammer?
27.03.2011, 21:44	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte es jetzt so geschrieben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{1}{k!} \cdot (-x)^{k}) \end{eqnarray}$
27.03.2011, 21:47	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe gerade gemerkt, dass es wie oben geschrieben, nicht funktionieren kann. Aber so müsste es gehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (\frac{(-1)^{k}}{k!} \cdot x^{k}) \end{eqnarray}$
27.03.2011, 21:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
jip
27.03.2011, 21:52	dergast	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann vielen Dank für deine Geduld.

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