Gebrochenrationale Funktionen Integrieren - Seite 3

28.03.2011, 23:24

MatheNeuling90

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Bin so vorgegangen hier mal als Schrittweise bisher:

1. Schritt Funktion aufschreiben!:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \, \frac{32t}{48+t^{4} } dt \end{eqnarray*}$

2. Schritt: dx bestimmen!

$\begin{eqnarray*} u=x^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=4x^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{4x^{3}} \end{eqnarray*}$

3. Schritt: dx durch du ersetzen inklusive die Formel leichter gemacht!

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \frac{1}{4x^{3} } \frac{32x}{48+x^{4} } \, dx \end{eqnarray*}$

Müsste doch bisher richtig sein oder?^^

28.03.2011, 23:28

Equester

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Leider nicht.
Die "Ausgangsfunktion" hat schon das \frac{1}{4x^3} drin. Wie kommt das?

Zweite Zeile des zweiten Schrittes...wo ist das dx? Big Laugh

Big Laugh

(Ist aber sonst in Ordnung Freude

Freude

)

3. Schritt. Wo ist der Unterschied zum Beginn?

Du wirst damit ohnehin nicht weit kommen. Folge meinem Rat -> x²=u

28.03.2011, 23:31

MatheNeuling90

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Tut mir leid der Editor wieder. Sollte so aussehen:

Bin so vorgegangen hier mal als Schrittweise bisher:

1. Schritt Funktion aufschreiben!:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \, \frac{32t}{48+t^{4} } dt \end{eqnarray*}$

2. Schritt: dx bestimmen!

$\begin{eqnarray*} u=x^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=4x^{3} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{4x^{3}} \end{eqnarray*}$

3. Schritt: dx durch du ersetzen inklusive die Formel leichter gemacht!

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \frac{1}{4x^{3} } \frac{32x}{48+x^{4} } \, dx \end{eqnarray*}$

Müsste doch bisher richtig sein oder?^^

hmm geht es tatsächlich nicht so bis zum Ende?? Verstehe nicht wie ich nach dem anderen Verfahren gehen soll. -.-

28.03.2011, 23:32

Equester

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Weiterhin falsch eingesetzt. Das t...

Folge meine weisen Ratschlägen und es wird viel einfacher^^

28.03.2011, 23:34

MatheNeuling90

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Ja wenn ich denn verstehen würde, gerne^^.

28.03.2011, 23:36

Equester

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Was gibts zu verstehen? Big Laugh

Big Laugh

Du hast -> x^4=u

Ich will -> x^2=u

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28.03.2011, 23:38

MatheNeuling90

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Alles klar moment.

28.03.2011, 23:40

Equester

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Yup

Augenzwinkern

28.03.2011, 23:46

MatheNeuling90

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kann ich denn nichteinfach amende der funktion nur die 4t^3 und das t^4 ändern und das wärs? ohh jetztw irds wieder kompliziert.

28.03.2011, 23:48

Equester

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Nein

Augenzwinkern

Du musst das Produkt der beiden Integrieren. Das geht nicht so einfach.
Deswegen wäre es besser du hast nur eine Variable zum Integrieren.
Das ist bei x²=u der Fall

28.03.2011, 23:50

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, kannst du bitte irgendwie mir klarmachen welche x^2 du meinst bzw. weshalb du genau die benutzen willst. Ich will alles wissen. smile

smile

28.03.2011, 23:57

Equester

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Ausgang
$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \, \frac{32t}{48+t^{4} } dt \end{eqnarray*}$

Nur mal
$\begin{eqnarray*} t^4 = t^2*t^2 \end{eqnarray*}$
beachtet

mit
$\begin{eqnarray*} t^2=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^4 = t^2*t^2=u*u=u² \end{eqnarray*}$

So klar?

Mit der Substitution erhälst du nun im Nenner ein weiteres t. Das kürzt sich mit
dem im Zähler -> es bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} u^2=t^4 \end{eqnarray*}$ im Nenner Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2011, 00:05

MatheNeuling90

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auf soetwas kann doch nicht jeder spontan draufkommen??

29.03.2011, 00:07

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn selbst ich das schaffe und Integrationen nicht mein Spezialgebiet sind,
dann solltest du das auch hinbekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2011, 00:09

MatheNeuling90

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Wie alt bist du eigentlich??^^

sry, off topic^^

29.03.2011, 00:10

Equester

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Wenn dein Name eine Jahreszahl beinhaltet, so trifft sie auch auf mich zu Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2011, 00:13

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

90 Jahre

Freude

(ironie auch 20^^

Naja, da sieht man den Unterschied zwischen deinem Matheverständnis und meinem Freude

Freude

Ich mach weiter mit der Aufgabe.

29.03.2011, 00:13

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Jahreszahl war auf den Jahrgang bezogen :P
Blöde Wortwahl meinerseits^^

Ich warte...aber ich kann nimmer lang mit machen. In meinem Alter muss man so langsam
ins Bett Big Laugh

Big Laugh

29.03.2011, 00:20

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomm das nicht hin. Verstehe diesen Vorgang nicht. Können wir das nicht nach meiner Art lösen ???? unglücklich

unglücklich

29.03.2011, 00:24

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Art ist halt nicht die mathematisch korrekte Art :P
Das heißt, bisher siehts ja gut aus. Aber weiter...^^

Mit meiner Art erhälst du das "gleiche" wie in der Aufgabe zuvor!

29.03.2011, 00:25

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach meiner Art, was müsste ich nun machen ?^^

Sicherlich nur eins zwei schritte oder? xD

29.03.2011, 00:29

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Weg?
Erst mal schaun, dass nur noch eine Art der Variablen dasteht.
DAnn wieder Substitution oder part. Integration etc etc.

Mein Weg. Substitution. Kürzen. Fertig
(Fertig = Intergrieren, Einsetzen, Vereinfachen) Big Laugh

Big Laugh

29.03.2011, 00:31

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du kein lösungsweg schritt für schritt bitte machen, ich hab ehrlich die Nase voll -.- unglücklich

unglücklich

dann übe ich andere ähnliche Aufgaben anhand deiner Lösungswege. Ich sitz schon wieder an einer Aufgabe stundenlang -.-

29.03.2011, 00:42

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Da es so lang ist (und ich ins Bett will) mach ich das sogar mal ausnahmsweise.

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \, \frac{32t}{48+t^{4} } dt \end{eqnarray*}$

Das haben wir.
Man sieht sofort ( Big Laugh

Big Laugh

) eine sinnvolle Substitution wäre t²=u
$\begin{eqnarray*} dt=\frac{du}{2t} \end{eqnarray*}$ (siehe vorherige Aufgabe).

Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^2 \! \, \frac{32t}{48+t^{4} } dt \end{eqnarray*}$

Wird zu:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \, \frac{32t}{48+u^{2} } \frac{du}{2t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \int_a^b \! \, \frac{16}{48+u^{2} } du \end{eqnarray*}$

Die 16 können wir rausziehen. Die Faktorregel kannst du ja nun:

$\begin{eqnarray*} \to 16 \int_a^b \! \, \frac{1}{48+u^{2} } du \end{eqnarray*}$

Jetzt integrieren wir einfach den letzten Teil (Formelsammlung etc)

$\begin{eqnarray*} 16[\frac{arctan(\frac{u}{4\sqrt3})}{4\sqrt3}]_b^a \end{eqnarray*}$

Zurücksubstituieren:
$\begin{eqnarray*} 16[\frac{arctan(\frac{t²}{4\sqrt3})}{4\sqrt3}]_0^2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen noch und fertig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe es sind keine Fehler drin. Aber bin zu müde zum Kontrollieren.

Du musst die Grenzen (wenn welche da sind) immer mitsubstituieren.
Ich hab sie einfach umbenannt. Am Ende dann eingesetzt!

Hoffe du kannst ein wenig folgen. Ist nicht das einfachste Beispiel zum Üben :P

29.03.2011, 00:45

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Das ist nun die entstehende Stammfunktion? xD

Daaanke. Werde es bis morgen früh sicher verstehen und nachvollziehen können smile

smile

29.03.2011, 00:45

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

7* Danke, da es so eine schöne Zahl ist Freude

Freude

29.03.2011, 00:48

Equester

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Dann kannst mir ja sagen ob Fehler drin sind Big Laugh

Big Laugh

Gerne und bis heut Mittag Wink

Wink

29.03.2011, 00:55

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

bis später Wink

Wink

29.03.2011, 09:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Equester
Ändert aber nichts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verkompliziert nur :P

Im Gegenteil. u = x² + 5 ist die einfachere Substitution.

29.03.2011, 12:28

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

wirklich??? können wir das nochmal anhand u=x^2+5 behandeln? xD

29.03.2011, 13:06

klarsoweit

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Wie betrachten $\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx \end{eqnarray*}$ .

Wir setzen u = x² + 5. Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = 2x \end{eqnarray*}$ bzw. du = 2x dx.

Damit folgt: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx = \int~\frac{0,5}{u}~du \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann kein Problem mehr. smile

smile

29.03.2011, 13:14

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen folgenden Schritt verstehe ich nicht:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5}{5+x^2}~2x~dx \end{eqnarray*}$ .

Woher stammen die 0,5 beim Zähler?

29.03.2011, 13:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand kann es verbieten, eine 1 als 0,5 * 2 zu schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2011, 13:26

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde das ganze so machen, weiss bloß nicht wie es weiter gehen solll.

$\begin{eqnarray*} du=2xdx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{5+x^{2} } \, dx \Rightarrow \int \! \frac{x}{5+x^{2} } \, \frac{du}{2x} \Rightarrow \int \! \frac{x}{5+x^{2} }\frac{1}{2x} \, dx \end{eqnarray*}$

So, nun weiß ich nie was ich machen kann, außer vielleicht die 1/2x nach vorne zu holen oder ähnliches.

29.03.2011, 13:31

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Equester
Ändert aber nichts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Verkompliziert nur :P

Im Gegenteil. u = x² + 5 ist die einfachere Substitution.

Ist schon en paar Seiten her, aber ich glaube das war die alte Aufgabe.
Da bezog sich meine Aussage da drauf, dass er nach x auflösen wollte.
Weil er nicht direkt kürzen wollt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist komplizierter u=x²+5 nach x umzuformen, als u=x² Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2011, 13:36

MatheNeuling90

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{u-5} \end{eqnarray*}$

und dann einfach alle x durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{u-5} \end{eqnarray*}$ ersetzen oder??^^ und dann noch die u=2x einfügen

29.03.2011, 13:37

Equester

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Ich hoffe ich hab jetzt klarsoweit nicht vertrieben verwirrt

verwirrt

Soll er übernehmen, wenn er wieder da ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Erste auf zweite Umformung ist richtig, aber nicht vollständig.
Willst du nicht im Nenner u=x²+5 ersetzen?
Die Umformung ganz rechts vergessen wir mal schnell wieder! Wo ist das du hin? Oo

29.03.2011, 13:39

MatheNeuling90

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mom mache mal ein schritt für schritt verzeichnis.

29.03.2011, 13:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Equester
Es ist komplizierter u=x²+5 nach x umzuformen, als u=x² Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist gar nicht nötig. Es ist

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x}{5+x^2}~dx = \int~\frac{0,5}{5+x^2}~\underbrace{2x~dx}_{= du} \end{eqnarray*}$

Was macht ihr denn die Sache so kompliziert? verwirrt

verwirrt

Ich bereite doch schon alles mundgerecht auf.

29.03.2011, 13:47

Equester

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Jaja, das hatte ich auch so vorbereitet.
Doch wollte er es so nicht essen. Deswegen hatte ich gemeint, er solle ALLE
x durch u's ersetzen. Um dann zu sehen, dass es keinen Unterschied macht, ob man
davor oder danach kürzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja egal, ich bin mal raus und lass euch weiterschaffen Wink

Wink

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