Gleichmäßige Konvergenz

28.03.2011, 11:58

Pustefix91

Gleichmäßige Konvergenz

Moin Leute,

komme hier leider nicht weiter.... Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f_{n}:\mathbb R -> \mathbb R , f_{n}(x) =\frac{x}{1+(nx)^{2}} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> \mathbb R , f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.

Also: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Wähle $\begin{eqnarray*} n_{0}:= \end{eqnarray*}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0} \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} |f_{n}(x) - f(x) | = | \frac{x}{1+(nx)^{2}}| < | \frac{x}{1+n^{2}}| \end{eqnarray*}$ . Und ab da komme ich nicht weiter... Wie bekomme ich das x aus dem Zähler?

Schönen Gruß Pustefix91

28.03.2011, 12:47

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \vert \frac{x}{1+n^2} \vert \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

und die Konvergenz ist unabhängig vom x.

28.03.2011, 12:52

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst Mal vielen Dank für deine Antwort.
Das was du geschrieben hast stimmt schon. Aber muss ich nicht zum Beweis ein $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ wählen? Jedenfalls haben wir gleichmäßige Konvergenz so definiert. Ich weiß das bei gleichmäßiger Konvergenz das $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ unabhängig vom x gewählt wird. Gibts da keine andere Möglichkeit? (als die von dir vorgeschlagene) Hätte es gerne mit diesem Kriterium gezeigt.

Schönen Gruß Pustefix91

28.03.2011, 12:59

BanachraumK_5

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm O.k. ich weiß was du meinst, also es genügt ja zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \Vert f_n \Vert_{\infty} \rightarrow 0,\ n \rightarrow \infty. \end{eqnarray*}$

Aber wie du nun explizit das n_0 angibst weiß ich leider auch nicht.

Geduld es wird sich noch jmd. finden der es weiß.

28.03.2011, 13:01

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dennoch schon Mal vielen Dank für die Hilfe. smile

28.03.2011, 13:07

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abschätzung im ersten Post ist leider falsch, nämlich für kleine x.

$\begin{eqnarray*} |f_n(0)-f(0)| \end{eqnarray*}$ ist sowieso immer 0, also betrachten wir nicht-verschwindende x.

Dann ist $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = \left| \frac{1}{\frac{1}{x}+n^2x}\right| \end{eqnarray*}$

Und nun schätzt du den Nenner nach unten ab, damit der Bruch nach oben abgeschätzt wird.

Und zwar mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

28.03.2011, 13:27

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann habe ich nun:

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{\frac{1}{x}+n^{2}*x} | \leq | \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{n}{x}+n^{3}x } } | \end{eqnarray*}$ Ist das so richtig? Was mir das bringt sehe ich leider nicht verwirrt

Schönen Gruß Pustefix91

28.03.2011, 13:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst AMGM auf 2 Summanden anwenden, wie kriegst du da eine n-te Wurzel? verwirrt

28.03.2011, 14:06

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh. Ok dann so:

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{\frac{1}{x}+n^{2}x}| \leq |\frac{1}{\sqrt{2}*(\sqrt{\frac{1}{x} } +n\sqrt{x} )}| \end{eqnarray*}$ Hoffe so ist es nun richtig. Aber was ist denn hier mit allen negativen x? Auch hier sehe ich nicht wirklich wie es weiter gehen soll. verwirrt

Schönen Gruß Pustefix91

28.03.2011, 14:24

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung zwischen AM und GM lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}2\geq\sqrt{ab}. \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du nun - wie tmo vor geraumer Zeit schon vorschlug - den NENNER (also $\begin{eqnarray*} \frac 1x+n^2x \end{eqnarray*}$ ) nach unten abschätzen.

Mach das doch einfach mal!

28.03.2011, 14:32

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das habe ich doch gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} + n^{2}x = \frac{ \frac{2}{x}+2xn^{2}}{2} \geq \sqrt{\frac{2}{x}+2n^{2}x } = \sqrt{2} (\sqrt{\frac{1}{x} } + n*\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

28.03.2011, 14:38

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Unter der Wurzel wird multipliziert, nicht addiert!

Damit man auch für negative x eine geeignete Abschätzung kriegt, sollte man vielleicht noch erwähnen, dass offensichtlich $\begin{eqnarray*} \left| \frac{1}{x}+n^2x\right| = \frac{1}{|x|}+n^2|x| \end{eqnarray*}$ ist und somit das Vorzeichen von x keine Rolle spielt.

28.03.2011, 14:42

Pustefix91

Auf diesen Beitrag antworten »

oh man. danke. dann hat sich der rest auch erledigt. Vielen Dank für die Hilfe.

28.03.2011, 14:53

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Anmerkung noch:

Zitat:

Original von Pustefix91
Aber das habe ich doch gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x}+2n^{2}x } = \sqrt{2} (\sqrt{\frac{1}{x} } + n*\sqrt{x} ) \end{eqnarray*}$

Auch wenn's im Zusammenhang mit der eigentlichen Aufgabenstellung nicht relevant ist, solltest Du diese Umformung dringend überdenken...

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmäßige Konvergenz

Verwandte Themen