gleichungssysteme parameterdarstellung

28.03.2011, 17:26

various

gleichungssysteme parameterdarstellung

Meine Frage:
Hy!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Angabe: Lösen Sie das Gleichungssystem und notieren Sie die Lösung in Parameterform.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

um eine obere Dreiecksmatrix zu bekommen habe ich den Gauss-Algorithmus angewandt und dieses Ergebnis bekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3/2 & -1/2 & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt ob ich das mit der Parameterform richtig verstanden habe oder nicht...

Lg
Dominik

Meine Ideen:
Ich hab mal folgendes Ergebnis:

x2 = a;
x4 = b;

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ -8 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + a \begin{pmatrix} -3/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.03.2011, 18:10

various

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RE: gleichungssysteme parameterdarstellung
In der letzten Spalte steht das Ergebnis --> es handelt sich bereits um die erweiterte Koeffizientenmatrix...

29.03.2011, 09:53

Reksilat

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RE: gleichungssysteme parameterdarstellung
Hi Dominik,

Du hast das mit der Parameterform schon richtig verstanden, aber die Rechnungen stimmen noch nicht.
Der erste Vektor muss doch eine Lösung des gegebenen LGS sein, aber da stimmen die ersten beiden Zeilen nicht, wenn ich ihn einsetze.
Die anderen beiden Vektoren müssen Lösungen des homogenen Systems (also wenn auf der rechten Seite der Nullvektor steht) sein. Das trifft bei Dir aber nur auf den Vektor mit dem Parameter a zu. Der andere ist falsch.

Gruß,
Reksilat.

29.03.2011, 10:23

various

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Hallo Reksilat, danke für deine Antwort!

x2 = a
x4 = b

Ich schreib mal meine Vorgangsweise auf:

aus -x4 + x5 = 4 erhalte ich: x5=4 + b

aus x3 - 2b - 4 + b = -8 erhalte ich x3 = -4 + b

aus x1 + 1.5a - 0.5(-4+b) - 0.5b + 0.5(4+b) = 1 erhalte ich x1 = -7/2 - 3/2a + 1/2 b

das eingesetzt ist glaube ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7/2 \\ 1,0? \\ -4 \\ 1,0? \\ 4 \end{pmatrix} +a \begin{pmatrix} -3/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder doch nicht? Big Laugh

Lg,
Dominik

29.03.2011, 10:32

Reksilat

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Zitat:

Original von various
aus x3 - 2b - 4 + b = -8 erhalte ich x3 = -4 + b

Es ist $\begin{eqnarray*} x_3-2x_4-x_5=-8 \end{eqnarray*}$
also: $\begin{eqnarray*} x_3-2b-(4+b)=-8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=-4+3b \end{eqnarray*}$

Der erste Vektor stimmt schon mal, wenn Du $\begin{eqnarray*} 1? \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ersetzt.

29.03.2011, 10:44

various

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Danke für deine Hilfe!

ok ich hab jetzt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7/2 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} +a \begin{pmatrix} -3/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.03.2011, 10:50

Reksilat

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Die erste Komponente des letzten Vektors ist leider immer noch falsch. -> 3/2
Ich habe in meinem ersten Beitrag doch schon geschrieben, wie Du es leicht überprüfen kannst. Die beiden Vektoren mit Parametern davor müssen ins LGS eingesetzt den Nullvektor ergeben.
smile

29.03.2011, 11:07

various

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ok danke, ich denke ich weiß wo mein Fehler lag:

ich habe das richtige x3 (x3 = -4 + 3b) nicht in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x1 = \frac{-7}{2} - \frac{3}{2}a + \frac{3}{2} b \end{eqnarray*}$

eingsetzt....

ich habe jetzt folgende Lösung --> hoffentlich richtig...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7}{2} \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} +a \begin{pmatrix} \frac{-3}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 0 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.03.2011, 11:09

Reksilat

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Jep, das sollte dann stimmen.

29.03.2011, 11:11

various

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okay

vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

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