limes sup/inf

03.12.2006, 17:02

green

limes sup/inf

zZ: für Folgen a(n) und b(n) gilt:

(a) limsup a(n) = -liminf -a(n),

(b) limsup (a(n) +b(n) ) <= limsup a(n) + limsup b(n) .

dass das so ist ist mir klar aber wie schreib ich da einen mathematischen beweis auf?

thx green

03.12.2006, 17:48

20_Cent

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schreib die definition der einen seite auf und forme das so um, bis die definition der anderen seite da steht...

bei (b) meinst du aber auch "=" oder?

mfg 20

03.12.2006, 18:06

Schmonk

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Zitat:

Original von 20_Cent
bei (b) meinst du aber auch "=" oder?

Nein, $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist schon richtig

Betrachte zB
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{(-1)^{n}}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{3} \end{eqnarray*}$

Dann ist
$\begin{eqnarray*} \operatorname{limsup}(a_n+b_n)=\operatorname{limsup}(0)<\operatorname{limsup}(a_n)+\operatorname{limsup}(b_n)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Grüße!

03.12.2006, 18:50

20_Cent

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ich hatte <= als folgerung verstanden *g*
warum weiß der teufel...

03.12.2006, 20:36

chris85

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zu (a):

$\begin{eqnarray*} lim sup x_n = -n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} - lim inf - x_n = -n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} lim sup - x_n = n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} lim inf - x_n = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - lim sup - x_n = - n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} lim inf x_n = -n \end{eqnarray*}$

Könnte man das so machen? Gilt das als Lösung oder wie muss ich das hier machen?

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