p-te Einheitswurzel, Galoistheorie

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Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »
p-te Einheitswurzel, Galoistheorie
Hi!

Ich schreibe morgen Klausur und habe noch eine Aufgabe gefunden, bei der ich mir unsicher bin. Es wäre toll, wenn mir da jemand etwas helfen könnte.

Also

Zitat:
Sei eine ungerade Primzahl. Sei eine primitive p-te Einheitswurzel. Beweisen Sie, dass einen eindeutig bestimmten Teilkörper vom Grad enthält und zeigen Sie, dass


Also meine Ideen:

Ich weiß, dass endliche Galoiserweiterung ist und ist, also insbesondere



Da p ungerade, ist also p-1 gerade, d.h. . Ich weiß, dass es eine Bijektion zwischen Teilkörpern der Galoiserweiterung und Untergruppen der Galoisgruppe gibt. Was mir gerade allerdings nicht klar ist, ist warum es nun einen Teilkörper mit gefordertem Grad geben muss? D.h. wie begründe ich, dass eine Untergruppe mit Ordnung (p-1)/2 besitzt? (Ich weiß, dass die Gruppe zyklisch ist.) Hat es etwas mit den Sylow-Sätzen zu tun? Unsere Formulierung dort war aber lediglich: "Sei G endliche Gruppe, p Primzahl. Jede p Untergruppe von G ist in einer p-Sylowgruppe von G enthalten, insbesondere gibt es mind. eine p-Sylowgruppe von G." Allerdings muss mein (p-1)/2 keine Primzahl sein.

Vermutlich ist es ganz leicht, aber nach einem langen Tag des Lernens und einer Klausur finde ich gerade nicht die Begründung. Ist die Vorgehensweise grundsätzlich richtig bis hierhin?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Jede zyklische Gruppe enthält für jeden Teiler der Ordnung genau eine Untergruppe dieser Ordnung.
edit: Die Begründung bis dahin ist richtig.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-te Einheitswurzel, Galoistheorie
Zitat:
Original von Merlinius
D.h. wie begründe ich, dass eine Untergruppe mit Ordnung (p-1)/2 besitzt? (Ich weiß, dass die Gruppe zyklisch ist.)

Ist g eine Primitivwurzel mod p, dann die Ordnung (p-1)/2...
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, logisch. Danke.

Ist H = <h> eine Gruppe und ord(h) = 2n, dann ist <h²> natürlich eine Untergruppe von Ordnung n.

Okay, damit weiß ich jetzt, dass es einen eindeutigen dieser Teilkörper gibt, da die Untergruppen der Galoisgruppe in Bijektion zu den Teilkörpern stehen.

Nun zum letzten Teil:



Mhhh. Also L muss ja der Fixkörper der gerade gefundenen Untergruppe der Galoisgruppe sein. Damit komme ich aber wohl nicht weiter, da ich die Gruppe nicht angegeben habe.

Wie argumentiert man weiter?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst doch die Galois-Gruppe von L. Jede Möglichkeit eine vorgegebene primtive p. Einheitswurzel auf eine der p-1 primitiven p. Einheitswurzeln abzubilden entspricht gerade einem Element der Galois-Gruppe und die Verknüpfung der jeweiligen Abbildungen entspricht der Verknüpfung in der Gruppe
Das sollte bekannt sein. Wie die -elementige Untergruppe aussieht (einen Erzeuger) also auch. (hier auch edit: Man kann doch nicht direkt einen Erzeuger ablesen. Ich muss mir die Aufgabe nochmal ansehen.)

edit: Fehler verbessert. Entschuldigung, falls das jemanden verwirrt hat.

Nun weiß ich nicht, welche Möglichkeiten du kennst, von einer Untergruppe der Galoisgruppe auf den entsprechenden Zwischenkörper zu kommen.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich denke mal, dass meine Untergruppe der Galoisgruppe nun aus der Identität besteht und der Abbildung, die 1 und tauscht und alle anderen festhält. Kann das sein?

Ein Körper wäre nun der Fixkörper dieser Gruppe, d.h. der Teilkörper, bei dem ein Tausch der beiden nichts verändert? Mehr Methoden fallen mir gerade nicht ein, die wir dazu gemacht haben.

Also ich komm grad nicht auf die Lösung. Ich muss jetzt ins Bett, ich schau morgen früh nochmal kurz drüber.

Danke auf jeden Fall für die Hilfe
 
 
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Also das was ich gerade dachte (hatte es nur für ein Beispiel ausprobiert), funktioniert wohl doch nicht (da man einen Erzeuger von nicht allgemein angeben kann). Sorry!

Dafür geht aber das Folgende (ich schreibe mal den Beweis ganz auf, da du ja morgen keine Zeit hast noch Rückfragen zu stellen):

Benutze das Lemma : Ist L/K eine Körpererweiterung und E,E' Zwischenkörper, sodass und Galois-Erweiterungen sind, dann (Beweis siehe z.B. Bosch am Ende von Kap. 4)

Hier angewendet für

Ergibt

denn aus folgt, dass jeder Teilkörper von , der und eine nicht reelle komplexe Zahl enthält gleich sein muss; also

Also ist und entsprechend (aufgrund des Gradsatzes)

Nun noch von der Aussage, dass es für jeden Teiler von nur eine Untergruppe der Galois-Gruppe gibt (da zyklisch), darauf schließen, dass es auch nur einen Zwischenkörper mit diesem Index geben kann und der Beweis ist fertig.

P.S.: Viel Glück!
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für all die Mühe!

Klausur gerade geschrieben. So eine Aufgabe wie hier kam zwar nicht dran, aber in einer anderen Aufgabe haben mir die Erkenntnisse genützt.

Ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich eine Aufgabe verpatzt habe oder nicht. Eine Minute vor Schluss dachte ich "oh je, ist ja komplett falsch", aber jetzt bin ich mir nicht mehr so sicher.

Also es ging um folgende Aufgabe, explizit c:

Zitat:
Sei ein Körper der Charakteristik . Sei, sei der Zerfällungskörper von

a) Zeige, dass f in jedem Zwischenkörper, in dem es eine Nullstelle hat, vollständig zerfällt. Und zeige, dass E/K galoissch ist
b) Zeige: Wenn über reduzibel ist, zerfällt es bereits in Linearfaktoren
c) Zeige: Wenn f irreduzibel, ist G(E/F) zyklisch ( dies ist die Problemaufgabe)


a) war kein Problem. Gezeigt, dass wenn Nullstelle ist, dann auch . Wegen char F = p müssen diese alle verschieden sein. Wegen Grad f = p gibt es keine weiteren in E, also zerfällt F über jedem . Damit ist E offenbar algebraisch, normal und separabel, also galoissch.

b) Da musste ich mich leider etwas winden. Ich hab zwar eine Lösung, aber sie ist nicht sonderlich elegant und ich glaube, es war anders gewollt:

Angenommen, f zerfällt in oBdA irreduzible, normierte . Dann ist die Summe der Grade der gleich p. Die Charakteristik muss eine Primzahl sein. Wären alle Grade gleich, so wäre . Da p eine Primzahl ist, geht das nur, wenn alle Grade 1 sind. Dann ist die Behauptung bereits erfüllt.

Angenommen, es sind nicht alle Grade gleich. Dann gibt es also unterschiedlichen Grades. Jedoch haben diese in einem Zerfällungskörper mindestens eine Nullstelle. Die Nullstellen müssen aber auch Nullstellen von f sein. Dann wären aber die Minimalpolynome zweier verschiedener Nullstellen von f (mit unterschiedlichem Grad). Dies widerspricht aber der Tatsache, dass die Adjunktion jeder Nullstelle die gleiche Körpererweiterung erzeugt (siehe a) ).

Kann man die Aussage irgendwie kurz und bündig per Galoistheorie in zwei Sätzen beweisen?

Nun zu c):

Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich's versaut hab. Also ich habe gesagt:

Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ist:



D.h. G(E/F) ist eine endliche Gruppe von Primzahlordnung, also zyklisch.

Jetzt befürchte ich, dass das erste Gleichheitszeichen falsch ist unglücklich

Also, was mich hier stutzig macht, ist: Angenommen ich habe ein irreduzibles, separables Polynom mit drei Nullstellen. Dann hat ja der Zerfällungskörper Grad 3. Aber es gibt mindestens 4 Elemente in der Galoisgruppe, nämlich zu jeder Vertauschung zweier Nullstellen jeweils eines und die Identität.

Andererseits sagt ja der Hauptsatz der Galoistheorie, dass für jeden Zwischenkörper L einer endlichen Galoiserweiterung E/K gilt: [E:L] = |G(E/L)|. Und L = K ist ja auch ein Zwischenkörper, also würde folgen [E:K] = |G(E/K)].
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung für alle Aufgabenteile, auch c), ist richtig. Bei b) hätte ich auch in etwa so argumentiert.

Zitat:
Also, was mich hier stutzig macht, ist: Angenommen ich habe ein irreduzibles, separables Polynom mit drei Nullstellen. Dann hat ja der Zerfällungskörper Grad 3.

Du meinst in der Situation der Aufgabe, also dieses Polynom f mit p=3? Im Allgemeinen kann der Zerfällungskörper eines Polynoms vom Grad 3 ja auch Grad 6 haben.

Zitat:
Aber es gibt mindestens 4 Elemente in der Galoisgruppe, nämlich zu jeder Vertauschung zweier Nullstellen jeweils eines und die Identität.

Nein. Es gibt für je zwei Nullstellen eine Abbildung in der Galoisgruppe, die die erste auf die zweite abbildet, aber es muss z.B. (im Allgemeinen) überhaupt keine Abbildung geben, die 2 Nullstellen tauscht (also auch die zweite auf die erste).
Man kann die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers eines separablen Polyoms vom Grad n immer als Untergruppe von auffassen, da alle Elemente der Galoisgruppe als Permutationen auf den Nullstellen wirken, aber im Fall n=3 ist z.B. auch möglich - diese enthält keine Transpositionen, sondern nur die 3-Zykel und die Identität.

Hier wäre die Galoisgruppe von E über F eine zyklische Untergruppe von der Ordnung , d.h. erzeugt von einem Element der Ordnung p, wofür nur ein p-Zykel in Frage kommt (die Ordnung einer Permutation als Produkt fremder Zykel geschrieben ist das kgV der Zykellängen).
Speziell für p=3 ist die Gruppe von E/F dann isomorph zu
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
Deine Lösung für alle Aufgabenteile, auch c), ist richtig. Bei b) hätte ich auch in etwa so argumentiert.

Zitat:
Also, was mich hier stutzig macht, ist: Angenommen ich habe ein irreduzibles, separables Polynom mit drei Nullstellen. Dann hat ja der Zerfällungskörper Grad 3.

Du meinst in der Situation der Aufgabe, also dieses Polynom f mit p=3? Im Allgemeinen kann der Zerfällungskörper eines Polynoms vom Grad 3 ja auch Grad 6 haben.

Zitat:
Aber es gibt mindestens 4 Elemente in der Galoisgruppe, nämlich zu jeder Vertauschung zweier Nullstellen jeweils eines und die Identität.

Nein. Es gibt für je zwei Nullstellen eine Abbildung in der Galoisgruppe, die die erste auf die zweite abbildet, aber es muss z.B. (im Allgemeinen) überhaupt keine Abbildung geben, die 2 Nullstellen tauscht (also auch die zweite auf die erste).


Ahhh, dann war dort mein Denkfehler. Stimmt natürlich.

Dann habe ich nun aber eine Multiple Choice Aufgabe falsch. Da war das Polynom gegeben: f = X^3+4X+2 über Q, mit Zerfällungskörper E

und Behauptung:

"G(E/Q) ist zyklisch von Ordnung 3"

und ich habe aufgrund obiger Überlegung [x] falsch angekreuzt unglücklich

vorgestern noch Analysis 3 geschrieben und da kam die Algebra leider ein bisschen zu kurz.

Eine letzte MC Frage hab ich noch, vielleicht kennst Du darauf die Antwort:

Sei E/K eine Körpererweiterung. L ein Zwischenkörper und L/K galoissch. Behauptung: Dann gilt [ ] richtig [ ] falsch

G(E/K) ist hier die Automorphismengruppe der Körpererweiterung, E/K ist nicht notwendig galoissch.

Da wusste ich es echt nicht und musste raten. Ich glaube, ich habe falsch angekreuzt, weil mir keine Begründung eingefallen ist, warum dies so sein sollte. Allerdings habe ich auch kein Gegenbeispiel gefunden.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Merlinius
Dann habe ich nun aber eine Multiple Choice Aufgabe falsch. Da war das Polynom gegeben: f = X^3+4X+2 über Q, mit Zerfällungskörper E

und Behauptung:

"G(E/Q) ist zyklisch von Ordnung 3"

und ich habe aufgrund obiger Überlegung [x] falsch angekreuzt unglücklich

Dann hast du Glück gehabt, denn die Galoisgruppe dieses Polynoms über Q ist nicht zyklisch (sondern isomorph zu ). Das kann man durch Betrachten der Diskriminante sehen, aber wenn es eine Multiple-Choice Aufgabe war, gibt es bestimmt auch noch eine einfacherere Möglichkeit das festzustellen (sehe ich nur momentan nicht).

Zitat:
Sei E/K eine Körpererweiterung. L ein Zwischenkörper und L/K galoissch. Behauptung: Dann gilt
[ ] richtig [ ] falsch

G(E/K) ist hier die Automorphismengruppe der Körpererweiterung, E/K ist nicht notwendig galoissch.

G(E/K) = Menge der K-invarianten Automorphismen?
Dann falls E/K galoissch ist, ist für natürlich genau dann wenn und diese Untergruppe ist echt, falls L nicht gleich K ist (Galois-Korrespondenz). Also wäre die Aussage mit Sicherheit im Allgemeinen falsch, aber es gibt Spezialfälle (z.B. L=K), bei denen sie stimmt.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Möglichkeit, für das Polynom einzusehen was die Galoisgruppe ist, ist noch, mit Analysis-Mitteln zu zeigen, dass es nur eine reelle Nullstelle hat (die Ableitung ist immer ). Damit muss dann die komplexe Konjugation, die eingeschränkt auf den Zerfällungskörper ein Q-Automorphismus ist, die eine reelle Nullstelle festlassen und die anderen vertauschen. Damit enthält die Galoisgruppe eine Transposition und kann nicht sein, muss also sein.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Sei E/K eine Körpererweiterung. L ein Zwischenkörper und L/K galoissch. Behauptung: Dann gilt
[ ] richtig [ ] falsch

G(E/K) ist hier die Automorphismengruppe der Körpererweiterung, E/K ist nicht notwendig galoissch.

G(E/K) = Menge der K-invarianten Automorphismen?
Dann falls E/K galoissch ist, ist für natürlich genau dann wenn und diese Untergruppe ist echt, falls L nicht gleich K ist (Galois-Korrespondenz). Also wäre die Aussage mit Sicherheit im Allgemeinen falsch, aber es gibt Spezialfälle (z.B. L=K), bei denen sie stimmt.


Ja genau, G(E/K) = Menge der K-invarianten Homomorphismen E -> E. Sorry, ich hatte oben Automorphismen geschrieben, aber ist hier nicht so wichtig. Und E/K galoissch war nicht vorgegeben, nichtmal algebraisch. Deshalb fand ich sie intuitiv sehr weit hergeholt, auch wenn ich auf die Schnelle kein Gegenbeispiel hatte.

Ich habe nicht gesehen, dass das Polynom genau eine reelle Nullstelle hatte. An die Ableitung habe ich überhaupt nicht gedacht. Wir haben in einer Übung gezeigt, dass für ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 über Q, welches genau eine reelle Nullstelle hat, gilt: [E : Q] = 6, mit E = Zerfällungskörper. Damit hätte ich die Frage dann beantworten können. Leider hatte ich gar keinen Zugang zu den Nullstellen und somit habe ich nun tatsächlich einen Fehler dort gemacht, und zwar habe ich behauptet, dass Q(a)/Q normal ist für jede Nullstelle a von diesem Polynom.

Bei allem Unwissen bin ich aber gut davongekommen mit diesem einen Fehler bisher.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MerliniusJa genau, G(E/K) = Menge der K-invarianten Homomorphismen E -> E. Sorry, ich hatte oben Automorphismen geschrieben, aber ist hier nicht so wichtig. Und E/K galoissch war nicht vorgegeben, nichtmal algebraisch. Deshalb fand ich sie intuitiv sehr weit hergeholt, auch wenn ich auf die Schnelle kein Gegenbeispiel hatte.

Ja, die Aussage ist etwas komisch formuliert, aber ich glaube, dass Multiple-Choice Aufgaben oft mit Absicht so gewählt werden. Es soll wahrscheinlich überprüfen, ob man die Definitionen wirklich verstanden hat.

Zitat:
Leider hatte ich gar keinen Zugang zu den Nullstellen und somit habe ich nun tatsächlich einen Fehler dort gemacht, und zwar habe ich behauptet, dass Q(a)/Q normal ist für jede Nullstelle a von diesem Polynom.

Ja, das ist dann tatsächlich falsch.

Zitat:
Bei allem Unwissen bin ich aber gut davongekommen mit diesem einen Fehler bisher.

Naja, das Wichtigste hast du ja anscheinend verstanden. Dass man das ein oder andere Detail vergisst, ist doch normal. Augenzwinkern
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zitat:
Bei allem Unwissen bin ich aber gut davongekommen mit diesem einen Fehler bisher.

Naja, das Wichtigste hast du ja anscheinend verstanden. Dass man das ein oder andere Detail vergisst, ist doch normal. Augenzwinkern


Jo, klar. Aber nach Möglichkeit will man ja alles richtig haben Big Laugh So schwer sind die Aufgaben in Klausuren ja in der Regel nicht. Nur diese MC Aufgaben werden einem schnell zum Verhängnis. Bei ner Beweisaufgabe, an der man 15 Minuten sitzt, sieht man die meisten Flüchtigkeitsfehler nach kurzer Zeit, aber selbst wenn man wirklich alles weiß, ist es sehr schwer, 30 mal richtig anzukreuzen. Irgendwann verliest oder verguckt man sich einfach.

edit: So, 1,3 smile Also danke für all Deine Hilfe!
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