Mindestumfang einer Stichprobe - Binomialverteilung

29.03.2011, 12:09	ich247	Auf diesen Beitrag antworten »
Mindestumfang einer Stichprobe - Binomialverteilung Meine Frage: Ich suche eine Formel, mit der man den Mindestumfang einer Stichprobe berechnen kann, wenn man von einer Binomialverteilung ausgeht. Dabei ist die Trefferwahrscheinlichkeit p, die mindeste Trefferanzahl k und die Sicherheitswahrscheinlichkeit y gegeben. Beispiel: Man hat einen idealen Würfel. Wie oft muss dieser geworfen werden, dass mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von y=95% siebenmal die 6 kommt. Meine Ideen: Man hat also $\begin{eqnarray} p=\frac{1}{6} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} k\geq 7 \end{eqnarray}$ und y=0,95. Theoretisch könnte man das ja ausrechnen mit $\begin{eqnarray} solve(\sum\limits_{k=7}^n nCr(n,k)(\frac{1}{6})^k(\frac{5}{6})^{n-k}=0,95 ;n) \end{eqnarray}$ Das kann mein Taschenrechner jedoch nicht. Nun hab ich im meinem Tafelwerk die Formel $\begin{eqnarray} n\geq \frac{ln(1-y)}{ln(1-p)} \end{eqnarray}$ gefunden, für mindestens einen Treffer. Gibt es so eine Formel auch für eine beliebige untere Grenze für die Trefferanzahl?
29.03.2011, 15:19	ich247	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner eine Idee? Mir fällt dann nur noch Ausprobieren ein, um auf die Lösung zu kommen. Aber das ist natürlich umständlich und auch mathematisch nicht sehr elegant. Ich bin für jeden Beitrag dankbar!
29.03.2011, 15:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Für k > 1 lässt sich das nicht formelmäßig lösen. Man muss das also numerisch lösen. Wenn dein Rechner die Binomialverteilung kennt, ist das aber mit nicht zu großem Aufwand machbar. Du kannst das gesuchte n über Intervallhalbierung finden.
29.03.2011, 15:56	ich247	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Huggy! Danke für die Antwort Schade, ich habe gehofft, es gibt dafür eine schöne allgemeine Formel... Mit Intervallhallbierung meinst du in diesem Fall, dass man bei der Binomialverteilung des Taschenrechners einfach erstmal eine Zahl für n einsetzt (z.B. 500) und dann schaut, ob es mehr oder weniger sein muss. Wenn es weinger sein muss nehm ich als nächstes n=250, usw.. Hab ich das richtig verstanden?
29.03.2011, 16:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so in etwa. Wenn du z. B. siehst, 100 ist zu klein und 500 zu groß, probierst du 300 aus. Ist das immer noch zu groß, gehst du auf 200. Ist das zu klein, wird 250 probiert. Also immer das Intervall zwischen einem zu kleinen und einem zu großen n halbieren.
29.03.2011, 16:03	ich247	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke Dann werd ich das so machen... LG
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