Reihe konvergiert oder divergiert

29.03.2011, 12:20

Wodka4188

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Reihe konvergiert oder divergiert

Meine Frage:
Hallo, also ich hätte folgende Frage.
ich soll untersuchen, ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(2n)!}{(3n)^n*n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert oder divergiert.

Meine Ideen:
Um zu untersuchen ob eine Reihe konvergiert oder divergiert habe ich ja verschiedene Kriterien zur Auswahl (Wurzel-, Quotientenkriterium...) aber da hier nun (2n)! und n! stehen, hab ich absolut kein Plan was ich machen soll...
Für ein paar Lösungshinweise wär ich echt dankbar!!!

29.03.2011, 13:13

Huggy

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RE: Reihe konvergiert oder divergiert
Der Term

$\begin{eqnarray*} \frac {2n!}{n!} \end{eqnarray*}$

besteht aus n Faktoren, die alle <= 2n sind.

29.03.2011, 13:25

klarsoweit

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RE: Reihe konvergiert oder divergiert
Wenn Fakultäten vorkommen, würde ich es immer mit dem Quotientenkriterium versuchen.

29.03.2011, 14:00

Wodka4188

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mmh, also danke erstmal, aebr irgendwie komm ich nicht weit...
also wnen ich jetzt das quotientenkriterium anwende komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} \| \frac{(3n)^n * 2(2n+1)*n!}{(2n)!*3*(n+1)! + n!*(2n)!} | \end{eqnarray*}$ und das bringt mich nicht so richtig weiter, weil ich ja beweisen muss, dass es größer oder kleiner 1 ist...

29.03.2011, 14:05

Wodka4188

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also ich denke, dass das kleiner als eins ist und somit konvergiert, aber man sollte es doch schon eindeutig sehen oder?

29.03.2011, 14:07

klarsoweit

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Wie bist du denn auf diesen tollen Term gekommen? verwirrt

verwirrt

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29.03.2011, 14:13

Wodka4188

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ähm naja also beim quotientenkriterium stz ich doch ein $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | \end{eqnarray*}$ und dann durch umformen komm ich auf das teil...

29.03.2011, 14:18

klarsoweit

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Ja, dann mach das mal ordentlich.

29.03.2011, 14:32

Wodka4188

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upps sorry... also wenn ich mich jetzt nicht wieder dermaßen verrechnet habe komme ich auf $\begin{eqnarray*} | \frac{2*(2n+1)*n^n}{3*(n+1)^{n+1} } | \end{eqnarray*}$
aber irgendwie kann ich da immer noch nicht ebweisen, dass es kliener oder größer 1 ist. also hab ich bst wieder was falsch gemacht... traurig

traurig

29.03.2011, 14:38

klarsoweit

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OK. Das schreiben wir mal so:

$\begin{eqnarray*} | \frac{2 \cdot (2n+1) \cdot n^n}{3 \cdot (n+1)^{n+1} } | = \frac{2 \cdot (2n+1) \cdot n^n}{3 \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt durch n^n kürzen und dann steht der Grenzwertbildung nichts mehr im Wege. smile

smile

29.03.2011, 14:48

Wodka4188

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mmh also ich glaub jetzt steh ich auf dem schlauch oder ich lieg komplett drauf.... verwirrt

verwirrt

ich soll durhc $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ kürzen? aber ich hab doch im nenner kein $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ . gut wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ausrechnen würde, dann kommt eins raus, aber dann?

29.03.2011, 15:22

Huggy

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Da klarsoweit nicht mehr online ist, komme ich noch mal auf meinen Vorschlag zurück. Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{2n!}{n!}=\prod_{i=n+1}^{2n} i<\prod_{i=n+1}^{2n} 2n=(2n)^n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n!}{(3n)^n n!}< ... \end{eqnarray*}$

und schon hat man eine konvergente Majorante.

Nun ja, wenn man bei Anwendung des Quotientenkriteriums korrekt Klammern setzt, wird man schon auch in die Richtung kommen.

29.03.2011, 15:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von Wodka4188
gut wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} (n+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ausrechnen würde, dann kommt eins raus

Hää?

verwirrt

Zitat:

Original von Wodka4188
ich soll durhc $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ kürzen? aber ich hab doch im nenner kein $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ .

So: $\begin{eqnarray*} | \frac{2 \cdot (2n+1) \cdot n^n}{3 \cdot (n+1)^{n+1} } | = \frac{2 \cdot (2n+1) \cdot n^n}{3 \cdot (n+1)^n \cdot (n+1)} = \frac{2 \cdot (2n+1)}{3 \cdot (\frac{n+1}{n})^n \cdot (n+1)} \end{eqnarray*}$

@Huggy: tut mir leid, daß ich dazwischen gefunkt bin. Ich wollte eigentlich nur zeigen, daß es mit dem Quotientenkriterium geht.

29.03.2011, 15:43

Wodka4188

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also wenn ich das jetzt richtig durchdacht hab könnte ich das so machen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n!}{(3n)^n n!} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}$ (produktzeichen von i=n+1 bis 2n $\begin{eqnarray*} \frac{i}{3n^n} \end{eqnarray*}$ ) < $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \end{eqnarray*}$ (produktzeichen von i=n+1 bis 2n $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^n} \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n^n}{3n^n} \end{eqnarray*}$ und hier sieht man ja das der nenner > zähler ist und somit ist das ding konvergent. oder? (ich hab keine ahnung wie ich das produktzeichen hinbekomme, deshalb das durcheinander. tut mir echt leid!!! wie ist die kombi für das produktzeichen?)

29.03.2011, 15:45

Wodka4188

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@ klarsoweit: und da seh ich das das konvergiert? ich soll ja nur zeigen ob das ding konvergiert oder divergiert...

29.03.2011, 15:49

klarsoweit

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Ja, nachdem du den Grenzwert gebildet hast.
Mir scheint, du wendest das erstemal das Quotientenkriterium an.

Wenn du die Abschätzung von Huggy nimmst, dann muß es $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2n)^n}{(3n)^n} \end{eqnarray*}$ heißen.

Außerdem reicht es nicht, wenn der Nenner > Zähler ist. Das stimmt nur bei der geometrischen Reihe, was hier jetzt aber nach der Abschätzung vorliegt.

29.03.2011, 15:50

Huggy

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Es reicht nicht, dass der Nenner größer dem Zähler ist.

Aber du hast doch

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^n}{(3n)^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{(3})^n \end{eqnarray*}$

Und das ist eine geometrische Reihe.

29.03.2011, 16:36

Wodka4188

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mmh ja tut mir leid, ich hatte die klammern vergessen... und nein ich wende es nicht zum ersten mal an, aber manchmal stell ich mich furchtbar dämlich an. hoffe ihr könnt mir verzeihen!?
coole sache. ich glaub ich habs jetzt! ich danke euch beiden.

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