Ungleichung lösen mit Betrag

29.03.2011, 12:49

ermeglio

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Ungleichung lösen mit Betrag

Meine Frage:
Hallo Leute

habe folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} | x^{2} - 4| \leq 2 \end{eqnarray*}$

die Lösung im Buch ist:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{6} \leq x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

ich hingegen komme
1. auf 2 Teilresultate die ich nicht zusammenkriege (siehe unten)
2. stimmen diese Teilresultate nicht mit der Lösung im Buch überein(siehe unten)

Bin für jede Hilfe sehr dankbar!
ein schöner Gruss
ermeglio

Meine Ideen:

Positiver Fall:

$\begin{eqnarray*} | x^{2} - 4| \leq 2 = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} - 4 \leq 2 | +4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} \leq 6 \end{eqnarray*}$

Negativer Fall:

$\begin{eqnarray*} | x^{2} - 4| \leq 2 = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x^{2} + 4 \leq 2 | - 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

29.03.2011, 13:21

mYthos

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Du musst für beide Fälle jeweils zuerst auch die entsprechende Definitionsmengen (diese sind Teilmengen der Grundmenge) festlegen!

mY+

29.03.2011, 14:15

René Gruber

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@ermeglio

Alles richtig - mit Ausnahme des allerletzten Schlusses:

Zitat:

Original von ermeglio
$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die vorletzte Zeile ist noch richtig, aber daraus folgt

$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

und durch Wurzelziehen

$\begin{eqnarray*} |x| \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \quad \vee \quad x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

29.03.2011, 15:55

ermeglio

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Frage: wäre diese Auflösung auch richtig gewesen?

$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} | * - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

30.03.2011, 10:01

ermeglio

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hallöle,

könnte jemand noch diese Frage beantworten? das wäre lieb :-)
smile

smile

danke für eine Antwort!
gruss
ermeglio

30.03.2011, 11:06

ermeglio

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Ungleichung lösen mit Betrag
Hallo Mythos

darf ich zurück auf Dein Beitrag kommen: was meinst Du mit entsprechende Definitionsmengen?

ist meine Auflösung hier oben falsch?
danke im Voraus für Deine Antwort!

gruss
ermeglio

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30.03.2011, 13:02

mYthos

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Ich nehme an, die Grundmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

1. Fall

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_1 = \{x| \ |x| \geq 2 \}_\mathbb R = \{x| \ (x \leq -2) \vee (2 \leq x) \}_\mathbb R \end{eqnarray*}$

2. Fall - entsprechend -

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4 < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_1 = \{x| \ |x| < 2 \}_\mathbb R = \ldots = \{x| \ -2 < x < 2 \ \}_\mathbb R \end{eqnarray*}$

Diese beiden Definitionsmengen sind mit den jeweils darin ermittelten Lösungsmengen zu schneiden (d. h. der Durchschitt zu bilden). Erst diese solcherart ermittelten Teil-Lösungsmengen sind dann zu vereinigen.

Das ist übrigens das klassische Vorgehen bei Ungleichungen mit Fallunterscheidungen.

mY+

30.03.2011, 13:21

ermeglio

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danke mythos

leider fehlt mir aber das KnowHow um Deine Lösung zu verstehen :-)

wäre meine Variante (siehe Post oben) auch richtig oder ist es völlig falsch??

danke!
gruss
ermeglio

30.03.2011, 13:50

mYthos

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Nein, so einfach ist die Lösung nicht.
Da ich jetzt unterwegs sein werde, komme ich ggf. nochmals am Abend audf dieses Thema zurück.

Du musst unbeding so vorgehen wie beschrieben, um die korrekte Lösungsmenge zu bestimmen.

Deine Lösungen kannst du auch durch Stichproben überprüfen.

Bei $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ wirst du sofort einsehen, dass z.B. x = 3 zwar diese Voraussetzung erfüllt, aber NICHT die Ungleichung.

mY+

30.03.2011, 14:14

ermeglio

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ok, danke. wart bis heute Abend ab verwirrt

verwirrt

30.03.2011, 14:38

Huggy

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Irgendwie fehlt mir bei den bisherigen Anrworten der direkte Hinweis, dass die Buchlösung tatsächlich unvollständig und damit falsch ist. Z. B. ist x = 2 ja offensichtlich ein Lösung der Ungleichung. Wenn x eine Lösung ist, dann ist generell auch - x eine Lösung.

Aus der Antwort von René ersieht man das natürlich. Und die gibt dir, du musst sie halt mal richtig lesen, die korrekte vollständige Lösung.

30.03.2011, 14:48

ermeglio

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Zitat:

Original von René Gruber
@ermeglio

Alles richtig - mit Ausnahme des allerletzten Schlusses:

Zitat:

Original von ermeglio
$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Die vorletzte Zeile ist noch richtig, aber daraus folgt

$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

und durch Wurzelziehen

$\begin{eqnarray*} |x| \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \quad \vee \quad x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Hallo Huggy,
zuerst mal danke. Was mir immer noch nicht klar ist:

wieso folg aus:
$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$
oder anders gesagt: wie komme ich zu diesem Resultat?

Ich komme nämlich auf das gleiche, aber mit folgendem Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} | * - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand sagen ob dieser Weg falsch ist?

gruss und vielen Dank!
ermeglio

30.03.2011, 15:08

Huggy

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Zitat:

Original von ermeglio
Was mir immer noch nicht klar ist:

wieso folg aus:
$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

Wenn man eine Ungleichung mit -1 malnimmt, wird aus <= ein >= und umgekehrt. Ebenso wird dann aus einem < ein > und umgekehrt.

Zitat:

Ich komme nämlich auf das gleiche, aber mit folgendem Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x \leq -\sqrt{2} | * - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Du kommst nicht auf das gleiche Ergebnis. Schau dir noch mal die letzte Zeile von René an. Da stehen 2 Fälle!

Und deine Rechnung beim Übergang von der ersten zur zweiten Zeile ist falsch. Du kannst weder aus -2 noch aus -x² die Wurzel ziehen. Beides sind doch negative Zahlen. Auch darauf hat René dich hingewiesen. als er schrieb, die vorletzte Zeile ist noch richtig.

30.03.2011, 15:47

ermeglio

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Ok, Du hast mir schon mal extrem geholfen.

Nun ist schon mal ein Teil klar, ich habe verstanden was ich falsch tat, und zwar zog ich die Wurzel aus einer negativen Zahl. Somit ist nun klar bewiesen das René recht hatte:

$\begin{eqnarray*} -x^{2} \leq -2 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

kannst Du mir noch etwas weiter helfen? und zwar ist mir noch was nicht klar. Denn, für den positiven Fall erhalte ich diese Teillösung:

$\begin{eqnarray*} x \leq \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

meine Frage ist nun (hoffentlich die letzte:-))

wie komme ich von diesen 2 Teilresultaten:
$\begin{eqnarray*} x \leq \sqrt{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

zur schlussendlicher Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{6} \leq x \leq -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

danke für die super Hilfe!
gruss

30.03.2011, 16:43

Huggy

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Du bist noch immer auf dem Holzweg. Aus

$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

folgt nicht

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Analog folgt aus

$\begin{eqnarray*} x^2 \leq 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\leq \sqrt 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\geq -\sqrt 6 \end{eqnarray*}$

Insgesamt folgt daraus folgende Lösungsmenge:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt 6 \leq x \leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \leq x \leq \sqrt 6 \end{eqnarray*}$

30.03.2011, 16:56

ermeglio

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ok, alles klar, oder fast.

Gibt es auch eine Begründung oder ein Weg wie ich von

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

komme? dann wäre nämlich alles viel einfacher

denn, wenn ich es mit -1 multipliziere, erhalte ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2|* -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

und eben doch nicht:
$\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

daher die Frage:
wie komme ich von:
$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

30.03.2011, 17:51

Huggy

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Zitat:

Original von ermeglio
ok, alles klar, oder fast.

Gibt es auch eine Begründung oder ein Weg wie ich von

$\begin{eqnarray*} x\geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} x\leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$

Von dem einen kommst du überhaupt nicht auf das andere! Die beiden widersprechen sich doch.

Aber aus

$\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

folgt, dass das eine oder das andere gelten muss. Mit der Kenntnis der Ordnung auf dem Zahlenstrahl sollte das klar sein. Man kann es natürlich auch formal begründen. Wenn einem aber solche Dinge nicht anschaulich klar sind, verheddert man sich meist erst recht bei der formalen Handhabung.

Mein Vorschlag: Mache dir solche Dinge anschaulich klar und beweise sie dann, wenn du Zweifel hast, rückwärts. Also

$\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ quadrieren ergibt $\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \leq -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ quadrieren ergibt $\begin{eqnarray*} x^2 \geq 2 \end{eqnarray*}$

Beim quadrieren negativer Zahlen geht <= in >= über und umgekehrt.

Damit ist schon mal gezeigt, wenn eine der Ergebnisbedingungen erfüllt ist, dann ist auch die Ausgangsbedingung erfüllt. Fehlt noch das umgekehrte:

$\begin{eqnarray*} - \sqrt 2 < x < \sqrt 2 \quad \widehat {=} \quad |x| < \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ quadrieren ergibt $\begin{eqnarray*} |x|^2=x^2<2 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, wenn keine der Ergebnisbedingungen erfüllt ist, ist auch die Ausgangsbedingung nicht erfüllt.

31.03.2011, 13:24

ermeglio

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Halllo Huggy,

vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Habe es nun auch verstanden Freude

Freude

vielen, vielen Dank
gruss
ermeglio Tanzen

Tanzen

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