G-al-system

29.03.2011, 13:31

Denniiis

G-al-system

Anna behauptet, dass die Summe einer vierstelligen g-al Zahl mit deren g-al Spiegelung immer durch g+1 teilbar ist. Beweisen oder widerlegen sie die Aussage.

G-al Spiegelung heißt z.b. wenn man 1234/5 hat dass das gespiegelt 4321/5 ist.

Ich habe jetzt folgendes gedacht.

$\begin{eqnarray*} a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} \end{eqnarray*}$
+ $\begin{eqnarray*} a_{3} a_{2} a_{1} a_{0} \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------

+( $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ )-( $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ )+ ( $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ ) - ( $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0

und alle g+1 teilen 0 -

wär das so ok?

29.03.2011, 14:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss man sich erst einmal in die g-al Entwicklung einlesen.

Für g = 10, also im Dezimalsystem, kann man leicht für vierstellige natürliche Zahlen zeigen, dass die Summe der wie beschrieben erzeugten beiden Zahlen durch 11 teilbar ist.
Dies geschieht einfach mit der Darstellung der Zahl als Summe der mit den Ziffern als Faktoren gebildeten Potenzen der Basis.

Das kann man nun auch für ein beliebiges g verallgemeinern und die Zahlen im g-adischen System in den Potenzen von g anschreiben. Für die gesamte Summe muss dann entstehen:

$\begin{eqnarray*} \ldots = (g^3 + 1)( ..) + (g^2 + g)( .. ) \end{eqnarray*}$

Die zu zeigende Teilbarkeit solltest du damit schon ersehen können.
____________________

Übrigens, deine Enwicklung mit den Produkten (?) der Ziffern kann ich ad hoc nicht nachvollziehen.

mY+

29.03.2011, 17:20

Denniiis

Auf diesen Beitrag antworten »

+( $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ )-( $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ )+ ( $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ ) - ( $\begin{eqnarray*} a_{3}+ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ ) = 0

so war das gemeint, habe paar Zeichen vergessen...
Also $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ usw. ist die Summer von den Zahlen, also wär 1234 $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ =1 das immer abwechselnde + - habe ich wegen alternierenden Quersummenregel geamcht. also kommt bei dieser immer null raus. und Null ist immer durch g+1 teilbar. verstehste jetzt wie ich es meine?
Besser kann ich es wohl leider nicht erklären...

29.03.2011, 17:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe schon .. , aber das stimmt noch immer nicht bzw. kann ich damit nichts anfangen.

Ich hatte meinen vorigen Beitrag noch ergänzt:
__________

Zitat:

Das kann man nun auch für ein beliebiges g verallgemeinern und die Zahlen im g-adischen System in den Potenzen von g anschreiben. Für die gesamte Summe muss dann entstehen:

$\begin{eqnarray*} \ldots = (g^3 + 1)( ..) + (g^2 + g)( .. ) \end{eqnarray*}$

Die zu zeigende Teilbarkeit solltest du damit schon ersehen können.

__________

Damit (und mit dem angegeben Link) solltest du schon etwas anfangen können.
Ich habe gerade noch einen Abschreibfehler (g^2 + g sollte es heissen, statt g^2 + 1) gesehen und diesen korrigiert. Sorry.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

G-al-system

Verwandte Themen