epsilon,n0-Abschätzung

29.03.2011, 15:25

Wodka4188

epsilon,n0-Abschätzung

hallo, hab mal noch eine Frage. Also ich soll mit Hilfe einer epsilon,n0- Abschätzung den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n+2} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Nun hab ich mich mal daran versucht und bin mal wieder kläglich gescheitert. Habe mir gedacht, dass ich vielleicht erstmal die Wurzel im Zähler "entfernen" sollte und bin dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n*\sqrt{n}+2*\sqrt{n} } \end{eqnarray*}$ gekommen. Nun hab ich mir gedacht, dass ich evtl das kleiner/gleich $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{(n+2)^2} \end{eqnarray*}$ setzen kann. kann man das so machen und wie komme ich dann weiter? wäre über Hilfe sehr dankbar!!!

29.03.2011, 15:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: epsilon,n0-Abschätzung
Warum quadrierst du nicht einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{n+2} < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

29.03.2011, 16:30

Wodka4188

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich fang glaub ich noch mal neu an... also ich habe dann, nachdem ich quadriert habe: $\begin{eqnarray*} \frac{n}{(n+2)^2} \end{eqnarray*}$ . aber da weiß ich auch nicht so recht weiter.
wenn ich das richtig verstanden habe, dann muss ich den grenzwert bestimmen und den dann von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ abziehen. und irgendwann müsste ich auf einen wert kommen mit 1/n*irgendwas umd das dann kleiner als 1/n0 und das ist dann kleiner epsilon. oder?
aber hier komm ich nicht weiter.... Tränen

29.03.2011, 16:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn wir von vorne anfangen, dann sag erstmal, welchen Grenzwert du beweisen willst.

29.03.2011, 16:49

Wodka4188

Auf diesen Beitrag antworten »

mmh gute frage... null oder?

29.03.2011, 17:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: epsilon,n0-Abschätzung
Richtig. Also muß man zeigen, daß es zu jedeem epsilon > 0 ein N_0 gibt, so daß $\begin{eqnarray*} |\frac{\sqrt{n}}{n+2}| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Es gilt nun: $\begin{eqnarray*} |\frac{\sqrt{n}}{n+2}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{n}{(n+2)^2} < \epsilon^2 \Leftarrow \frac{n}{n^2} < \epsilon^2 \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt nach n umstellen.

30.03.2011, 09:14

Wodka4188

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen. also danke dir erstmal. und wenn ich das so mache, wie du sagst und ich es richtig vertsanden habe, dann kommt raus: $\begin{eqnarray*} <= \frac{1}{n}<epsilon^2 <= \frac{1}{epsilon^2}<n\leq n_{0} \end{eqnarray*}$

30.03.2011, 09:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. Erstmal nur $\begin{eqnarray*} ... \Leftarrow \frac{1}{\epsilon^2} < n \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt muß man schauen, wie das N_0 zu wählen ist. Da man nur n betrachtet mit n > N_0 kann man offensichtlich $\begin{eqnarray*} N_0 = \frac{1}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$ wählen.

30.03.2011, 11:28

Wodka4188

Auf diesen Beitrag antworten »

bin ich dann fertig oder muss ich noch was machen, außer das alles ordentlich aufschreiben?

30.03.2011, 11:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wodka4188
außer das alles ordentlich aufschreiben?

Genau das. Augenzwinkern