Volumen Rotationskörper

03.12.2006, 18:46

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

Volumen Rotationskörper

Hallo, ich glabe ich werde noch verrückt!! Unser Lehrer gibt uns eine Aufgabe:

Der Graf y=4/(x²+1)
Die Gleichung x=3

Diese begrenzen mit den koordinatanachsen eine bestimmte Fläche, die dann um die y-Achse rotieren soll.

Soweit ich das jetzt richtig vertanden habe, ist x=3 eine Parallele zur y-Achse , die den Grafen im Punkt (3|0,4) schneidet?

DieUmkehrfunktion ist : $\begin{eqnarray*} x= \sqrt{\frac{4}{y} - 1} \end{eqnarray*}$

Und soweit mir bekannt ist, rechnet man das so:
$\begin{eqnarray*} Volumen = \pi * \int_{- unendlich}^{3}~ \frac{4}{y} - 1~(dx) \end{eqnarray*}$

Damit - das integral vom bereich -unendlich bis 3 auf der x-Achse???

Aber der Lehrer hat uns die lösung aufgetischt: V= 28,93513765

Bitte helft mir, ich komm mit dem Zeug absolut nicht klar!!

03.12.2006, 18:48

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

also berichtigung: ich meine nciht - unendlich, sondern 0 , da es ja von den koordinatenachsen begrenzt wird.
sorry

03.12.2006, 19:05

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
1. Das hat mit der Umkehrfunktion ix zu tun, sondern mit der Integration (bei manchen Leuten auch "Aufleitung")

2. wenn du das Integralzeichen $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ benutzt, gehört da die f(x) Funktion rein und nicht schon die Stammfunktion

3. Wo genau ist dein Problem?!

03.12.2006, 19:13

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dunkit
1. Das hat mit der Umkehrfunktion ix zu tun, sondern mit der Integration (bei manchen Leuten auch "Aufleitung")

@Dunkit

die Umkehrfunktion braucht man, weil es hier um die Rotation der y-Achse geht.

@guests

Schau dir mal die Umkehrfunktion an. Dann siehst du, wie deine Grenzen sein sollen. Und wenn du die in der Umkehrfunktion die y-Variable drin hast, dann musst du statt dx auch dy schreiben.

EDIT

Auch interessant könnte für dich sein: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationskö...onsk.C3.B6rpers

03.12.2006, 19:19

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

also die umkehrfunktion habe ich gebildet, weil das ganze a um die y-Achse rotieren soll und nicht um die x-Achse.

Die allgemeine formel zur flächenberechnung ist : $\begin{eqnarray*} \pi \int_{}^{}~(f(x))^2~(dx) \end{eqnarray*}$

dieses f(x) ist schon meine umkehrfunktion!

die formel habe cih jetzt aufgestellt, nru ich habe absolut kein plan, wie ich das lösen soll. Ich weis ja nicht einmal wie ich diese gleichung integrieren soll:

Heir ein versuch^^: $\begin{eqnarray*} \frac{4}{y} -1 \end{eqnarray*}$ wird bei mir zu... 4*y^-1 zu... -4*y^0 = -4

Dann kann ich aber nichts mehr einsetzen??

03.12.2006, 19:22

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal den Link an, den ich noch unter die Zeichnung ergänzt habe. Dort steht, wie du bei der Rotation um die y-Achse vorgehen musst.

Und zu deinem Integrationsproblem: $\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x}\,\dd x=\ln x \end{eqnarray*}$

Anzeige

03.12.2006, 19:31

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Calvin
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x}\,\dd x=\ln x \end{eqnarray*}$

Ok, jetzt wird mir so einiges klar^^, ich habe hier schon mindestens eine stunde gesessen, weil bei meiner integration nichts rauskam und ich vermutete , meine gleichung sei falsch ^^

Woher weis man das eigentlich? ist das so eine generelle regel, oder muss man sich das selber ableiten können?

Und ansonsten danke, cih glaube, ich habe es jetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2006, 19:45

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht so in jeder Formelsammlung und sollte eigentlich bekannt sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also merken für die Zukunft smile

smile

03.12.2006, 19:47

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

ja , ich glaube, ich lege mir dann eine formelsammlung an^^

03.12.2006, 19:53

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, sorry, jetzt wird mir einiges klar ^^

Zum Thema Ab-Aufleitung: Wenn ihr das im Unterricht so noch nicht Aufgeleitet habt, ist die Aufgabe tatsächlich seh komisch... Aber das Internet hilft meistens weiter...

Sehr gute Formelsammlung: Das große Tafelwerk

03.12.2006, 20:01

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke für den tipp, hol ich mir morgen gleich.
Ich hätte noch eine Frage: Wie bekomme ich den kürzesten Abstand vom Ursprung zu dieser funktion? Gibts da auch so eine bestimtme formel, oder haperts gerade nur bei mir am logischen denken?

03.12.2006, 20:04

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du einen bestimmten Punkt der Funktion hast, kannst du dann den Abstand zum Ursprung ausrechnen?

Nimm dann einen allgemeinen Punkt $\begin{eqnarray*} P(u/f(u)) \end{eqnarray*}$ und rechne davon abhängig von u den Abstand aus. Minimiere dann die Abstandsfunktion.

Kleiner Tipp für das Minimieren: da kommt eine Wurzel vor. Wenn du die wegläßt, vereinfacht sich die Rechnung ein bißchen. Aber darüber kannst du dir Gedanken machen, wenn es soweit ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2006, 20:18

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt raus für die kürzeste strecke mit pythagoras ausgerechnet: l = sqrt( x² + (4/(x²+1))² ) = sqrt( x² + 16/(x²+1)² )

hmmmmm, und jetzt?

03.12.2006, 20:24

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt eine Funktion in Abhängigkeit von x, nämlich $\begin{eqnarray*} I(x)=\sqrt{x^2+\frac{16}{(x^2+1)^2}} \end{eqnarray*}$ . Die gibt dir für jeden x-Wert den Abstand des Punktes zum Ursprung. Du musst diese Funktion jetzt minimieren.

Und nun zur Vereinfachung: wenn nur gefragt ist, an welcher Stelle x der Abstand minimal wird, ist es egal, ob du $\begin{eqnarray*} I(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} [I(x)]^2 \end{eqnarray*}$ minimierst. Der Unterschied liegt nur im Rechenaufwand Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für den genauen Abstand musst du den gefundenen x-Wert natürlich wieder in I(x) einsetzen.

EDIT
Fehler in der Abstandsfunktion verbessert

03.12.2006, 20:43

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber habe noch nie was von minimieren gehört! habs mir grad versucht selber beizubvringen, aber zu viele formeln im internet, habe keine richtigen seiten gefunden, für sonderschüler halt^^

03.12.2006, 20:46

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer integrieren kann, hat vorher minimieren gemacht. Anders ausgedrück: du sollst das Minimum finden (1. Ableitung null setzen)

03.12.2006, 21:07

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich hab das minimieren nich als extrema berechnen verstanden, dahcte, das wär jetzt wieder was neues, puh

ok, hab jetzt ein bischen gebraucht: die ableitung ist= $\begin{eqnarray*} 2x - \frac{32}{ (x^{2}+ 1) ^{3}} \end{eqnarray*}$

ich rechne noch jezt das x für null aus, wird aber etwas länger dauern, also poste ich schonmal im vorraus, falls die ableitung garnciht stimmt...

03.12.2006, 21:14

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

ok aufgelöst habe cih jetzt soweit: x^4 + 3x³ + 3x² + x = 16

Wie ich das allerdings jetzt auch noch auflösen soll, belibt mir ein rätsel!
Ich hätte doch kein mathematik LK nehmen sollen glaube ich.

03.12.2006, 21:23

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler kann ich keine entdecken. Habe die gleiche Ableitung. Allerdings ist das Bestimmen der Nullstellen hier in der Tat nicht trivial und erfordert ein Näherungsverfahren.

Bist du sicher, dass du für die richtige Funktion den geringsten Abstand zum Ursprung ausrechnest? Mit der Umkehrfunktion geht das wesentlich einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2006, 21:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Ableiten von $\begin{eqnarray*} (x^2+1)^{-2} \end{eqnarray*}$ an die Ableitung der inneren Funktion denken!

Und der geringstmögliche Abstand wird dann bei $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{\sqrt[3]{32}-1} \end{eqnarray*}$ angenommen.

Nicht immer gleich ausmultiplizieren!

03.12.2006, 21:53

Calvin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, da habe ich im Laufe des Threads ein Quadrat im Nenner verloren. Dadurch hat guest vermutlich die falsche Funktion minimiert.

Also: die richtige zu minimierende Funktion ist $\begin{eqnarray*} I^2(x)=x^2+\frac{16}{(x^2+1)^2} \end{eqnarray*}$

Demnach sind deine und meine Ableitung falsch.

Danke Leopold fürs Mitdenken smile

smile

03.12.2006, 22:42

guests

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar, jetzt hab ich es sogar verstanden, danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »