(Analytische Geometrie) Problem mit Aufgabe

03.12.2006, 18:50

ricoh

(Analytische Geometrie) Problem mit Aufgabe

Hallo Boardler!

ich komme bei folgender Aufgabe nicht voran:

Drei Geraden, $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ bilden ein Dreieck ABC. Berechne die Seitenlaengen und die Groessen der Innenwinkel dieses Dreiecks!

$\begin{eqnarray*} g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s*\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hab die Aufgabe schon x-mal durchgerechnet, aber ich komme nichteinmal annaehernd an die Ergebnisse ran, die mir von einem Lehrer gegeben wurden.

Muss irgendwas am Anfang oder so sein, was ich falsch mache.

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Gruss ricoh

03.12.2006, 18:53

cleverclogs

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Was hast Du dann gemacht?

03.12.2006, 22:15

ricoh

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ja, als erstes denke ich, dass ich die entsprechenden Vektoren berechnen muss. Da ich ja jeweils einen Punkt fuer jede Gerade kenne, dachte ich ich mach das wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dementsprechend kann ich hiernach mit Hilfe der Betraege die Laenge der Vektoren ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{a} \mid = \mid\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\mid = \sqrt{44} \end{eqnarray*}$ (das beim Vektor sollen Betragsstriche sein)

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid = \mid\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\mid = \sqrt{24} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{c} \mid = \mid\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -10 \end{pmatrix}\mid = 10 \end{eqnarray*}$

so, und nun dachte ich, ich kann das mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} * \vec{c} = \mid \vec{a} \mid * \mid \vec{c} \mid * \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ zum Beispiel fuer $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ aufloesen. Ich erhalte aber hier falsche (?) Werte. Nun wuerde ich gerne wissen, ob a) Meine Ueberlegung falsch war, und wenn ja warum?, b) der Fehler bei der Umsetzung der Ueberlegung liegt (also ein einfacher Rechenfehler)

Wenn sowohl Ueberlegung als auch die Umsetzung richtig sind, haette ich gerne fuer $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray*}$ unabhaengige Vergleichswerte. Ich schliesse aus, dass mein Mathelehrer falsch gerechnet hat, aber sicher ist sicher. Big Laugh

Gruss ricoh

03.12.2006, 22:39

cleverclogs

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Deine Überlegungen sind leider falsch.

Die drei Gleichungen sind für Seiten des Dreiecks. Die geben alleine gar nichts wie einen Punkt bekannt, sondern Du muss 2 Gleichungen gleich setzen um einen Schnittpunkt zu finden.

Es gibt mehrerer Rechenwege...

Deine ist wie gesagt leider falsch!

03.12.2006, 22:47

ricoh

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Zitat:

Original von cleverclogs
Deine Überlegungen sind leider falsch.

Die drei Gleichungen sind für Seiten des Dreiecks. Die geben alleine gar nichts wie einen Punkt bekannt, sondern Du muss 2 Gleichungen gleich setzen um einen Schnittpunkt zu finden.

Es gibt mehrerer Rechenwege...

Deine ist wie gesagt leider falsch!

hab ich mir fast gedacht... Schnittpunkte hab ich auch schon ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} g_1 = g_2 \end{eqnarray*}$

2+r*(-4) = 0+s*2 und 1+r*4 = 3+s*(-2) und -4+r*7 = 2+s*(-1)

r = 1 und s = -1

$\begin{eqnarray*} g_2 = g_3 \end{eqnarray*}$

(Das Aufschreiben der Terme spar ich mir hier jetzt Augenzwinkern

)

s = 1 und t = -1

$\begin{eqnarray*} g_1 = g_3 \end{eqnarray*}$

r = 0 und t = -2

gut, jetzt habe ich mehrere Schnittpunkte... die muesste ich dann in die entsprechenden Terme einsetzen, richtig? Was genau habe ich jetzt damit berechnet? verwirrt

*rechne rechne*

03.12.2006, 22:52

cleverclogs

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Jetzt muss Du zB r in die Gleichung einsetzen, damit Du den Schnittpunkt hast: Du erhälst natürlich drei!

Danach kannst Du mit den Abstandsformel die Seitenlängen berechnen.

03.12.2006, 23:08

ricoh

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ok, aehm... ich hab aber verschiendene Werte jeweils fuer r raus... einmal r = 1 und r = 0 .... einen aussuchen? Oder muss ich hierbei was beachten?

also Schnittpunkte "muessten" sein:

bei $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ -> r=1:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \begin{pmatrix} -8 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ -> s=-1:

$\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_3 \end{eqnarray*}$ -> t=-1:

$\begin{eqnarray*} \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hmm, gut, das sind - wenn ich das richtig verstehe, die "Eckpunkte" des Dreiecks ABC. Jetzt muss ich als naechsten Schritt doch die Vektoren entsprechend von einander abziehen, so dass ich die Strecken dazwischen erhalte, gell? smile

schon mal hier ein RIESEN DANKE an cleverdogs ... Forum Kloppe

03.12.2006, 23:20

cleverclogs

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Zitat:

ok, aehm... ich hab aber verschiendene Werte jeweils fuer r raus... einmal r = 1 und r = 0 .... einen aussuchen? Oder muss ich hierbei was beachten?

Ich habe fast geschrieben, dass Du aufpassen muss!!

Aber Ja... so gehts richtig weiter (in Prinzip - habe nicht nachgerechnet) Prost

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