Mit Hilfe der komplexen Zahlen Cosinus umformen

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DiviiNiTy Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Hilfe der komplexen Zahlen Cosinus umformen
Hallo.
In der vergangenen Stunde haben wir uns mit komplexen Zahlen beschäftigt und mithilfe derer gezeit, dass Cos(2a) in Cos²(a) - Sin²(a) umgeformt werden kann mit der Eulerschen Gleichung.
Der Rechenweg lässt sich wie folgt formulieren:

Cos(2a) + i*Sin(2a) = e^(2*i*a) = [Cos(a) + i*Sin(a)]² = Cos²(a) - Sin²(a) + 2i*Sin(a)*Cos(a)

Daraus folgt, dass Cos(2a) = Cos²(a) - Sin²(a), da es sich beide male um die identische komplexe Zahl handelt und deren Real- und Imaginärteile gleich sind.

Die Frage war nun, ob ähnliches allgemein für Cos(n*a) hergeleitet werden kann.

Den Winkel habe ich mit a abgekürzt.

Hat da jemand eine Idee, wie man da auf ähnliche Art und Weise ran gehen könnte?
Denke, dass man da auf eine Doppelsumme oder ähnliches kömmen müsste mit dem obigen Ansatz, wobei die Vorfaktoren anch dem pascalschen Dreieck für mich ebenfalls schwer unterzubringen waren.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist eine Doppelsumme. Mit



bekommst zu letztendlich je eine Summe für den Real- und den Imaginärteil.
Du kannst das mal für n = 3 und n = 4 durchspielen.

mY+
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