Varianz und Erwartungswert eines Schätzers

29.03.2011, 18:04

MichaelK86

Varianz und Erwartungswert eines Schätzers

Meine Frage:
Hallo allesamt:

Ich bin gerade an einer alten Klausuraufgabe, zu der es keine Musterlösung gibt. Ich habe nun dir Varianz und den Erwartungswert eines Schätzers berechnet. Könnt ihr mir eventuell ein kurzes Feedback geben, ob ich damit richtig liege? Bin mir nämlich nicht ganz so sicher, vor allem was die Varianz angeht.

Aufgabe: Es seinen X1,X2 und X3 unabhängige, identische Widerholungen aus einer Normalverteilten GG mit E(X)= mü und Var(X)= sigma². Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der folgenden Schätzer:

$\begin{eqnarray*} mu1= ((X1+2X2+X3)/4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mu2= ((X1+X2+X3)/3) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee zum Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(mu1)= E(1/4*X1) + E(2/4*X2) + E(1/4*X3) =1/4mu+2/4mu+1/4mu=mu \end{eqnarray*}$ . Somit liegt hier ein erwartungstreuer Schätzer vor? Hätte ich korrekterweise die 1/4 und 2/4 vor den Erwartungswert ziehen müssen?

Zur Varianz:

$\begin{eqnarray*} Var(mu1)= Var (1/4X1+2/4X2+1/4X3) = (1/4)²*sigma² + (2/4)²*sigma²+ (1/4)²sigma² \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das? Wäre super, wenn ihr mir eine kurze Antwort geben könntet! Vielen Dank im Voraus!

Die 2te sollte ja im Prinzip genauso funktionieren, wie erste Aufgabe oder?

29.03.2011, 18:10

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Hätte ich korrekterweise die 1/4 und 2/4 vor den Erwartungswert ziehen müssen?

Müssen nicht, aber da der Erwartungswert Linear ist, darfst Du es. Der Erwartungswert ist richtig. Die Varianz nicht. Es ist :

$\begin{eqnarray*} V(\mu_1) = E[(\mu_1 - E(\mu_1))^2 ] = ... \end{eqnarray*}$

29.03.2011, 19:11

*MichaelK86

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze: Danke für die Antwort! Warum kann ich bei der Varianz nicht die Rechenregel

$\begin{eqnarray*} Var(a1x1+...+anXn)=(a1)²*Var(X1)*+..... \end{eqnarray*}$ anwenden?

Schließlich habe ich doch hier die immer eine Konstante a vor dem X (z.B. die 1/4 und 2/4)

Die Formel, die du genannt hast, kann ich doch umformen zu

E(X)= E(mu²) - [E(mu)²] oder?

Nur irgendwie bringt mich das nicht weiter, hmmm.... [E(mu)²] sollte mu² sein oder? Aber was ist mit dem E(mu²)? verwirrt

29.03.2011, 19:20

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Warum kann ich bei der Varianz nicht die Rechenregel

Weil die Rechenregel falsch ist (zumindest in diesem Fall). Beispiel : X und Y seien unabhängig und Normalverteilt mit Mittelwert 1 und Varianz 1. Dann ist

$\begin{eqnarray*} V(X) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(Y) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(X) + V(Y) = 2 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} V(X + Y) = E( (X + Y)^2) - E(X + Y)^2 = E(X^2) + E(XY) + E(Y^2) - 4 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 - 4 = 1 \neq 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Die Formel, die du genannt hast, kann ich doch umformen zu E(X)= E(mu²) - [E(mu)²] oder?

Ja, das geht. Zur Lösung brauchst Du das zweite quadratische Moment der Normalverteilung.

30.03.2011, 09:47

*MichaelK86

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Sorry, aber das bringt mich irgendwie nicht weiter. Ich habe nach dem zweiten quadratischen Moment auf Wikipedia geschaut, da steht nichts weiter dazu, wie man es berechnet und im Fahrmeier, meinem Statistikbuch finde ich dazu auch nichts weiter. Wie kann ich da weiter machen?

30.03.2011, 11:17

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite quadratische Moment kann man sich leicht selbst herleiten.

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2}\right)dx \end{eqnarray*}$

wenn X Normalverteilt mit mu und sigma ist. Und das Integral ist nicht schwer zu lösen. (partielle Integration)

30.03.2011, 11:18

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst bei unabhängigen Zufallsgrößen die Formel

$\begin{eqnarray*} V(X+Y)=V(X)+V(Y) \end{eqnarray*}$

durchaus anwenden. Mazze hat sich da verrechnet. Bei unabängigen Größen ist $\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ und wenn man das damit korrekt ausrechnet, ergibt sich obige auch von dir benutzte Formel, die übrigens auch in jedem Lehrbuch steht. Oft man findet man sie in der Form

$\begin{eqnarray*} \sigma_{X+Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2\sigma_{XY} \end{eqnarray*}$

Bei unabhängigen Größen ist der letzte Term, die Covarianz, Null.

30.03.2011, 11:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab mich tatsächlich verrechnet, die binomische Formel ist falsch. Dann kommt auch 1 heraus. Ich hatte da eine andere Formel im Sinn.

In diesem Sinne, danke an Huggy und dein Ergebnis stimmt dann auch.

30.03.2011, 13:04

*MichaelK86

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist
$\begin{eqnarray*} Var(mu1)= Var (1/4X1+2/4X2+1/4X3) = (1/4)²*sigma² + (2/4)²*sigma²+ (1/4)²sigma² \end{eqnarray*}$ damit doch richtig dann?

Puh, da bin ich beruhigt. @Mazze und Huggy: Vielen Dank für die Hilfe!

30.03.2011, 13:38

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deines ist richtig! Nur der Vollständigkeit halber, da es hier schon angesprochen wurde. Das zweite Quadratische Moment einer normalverteilten ZV mit Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Varianz und Erwartungswert eines Schätzers

Verwandte Themen