Orthogonalität

29.03.2011, 20:40

studYY

Orthogonalität

Guten Abend.

[attach]18856[/attach]

Zu a:

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Aufgabe angehen soll.

Überlegung:
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ergibt, so stehen sie orthogonal zueinander, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} -r \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

29.03.2011, 20:59

krisha

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RE: Orthogonalität
Es stimmt, dass das Skalarprodukt 0 sein muss, damit die Vektoren senkrecht zueinander sind.
Das Skalarprodukt ist aber so definiert:
$\begin{eqnarray*} \vec{u} *\vec{v} =\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = u_{1} \cdot v_{1} +u_{2} \cdot v_{2}+u_{3} \cdot v_{3} \end{eqnarray*}$
Probier es damit noch mal...

29.03.2011, 21:42

studYY

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RE: Orthogonalität
Danke krisha smile

Aber wie soll ich dann den Vektor a - rb darstellen?
Muss ich ihn zusammenfassen?

29.03.2011, 21:49

krisha

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RE: Orthogonalität
Ja, genau.
Multipliziere erst alle Komponenten von b mit r und subtrahiere das dann von den Komponenten von a. Dann hast du den Vektor a-rb und kannst das Skalarprodukt berechnen.

29.03.2011, 21:55

studYY

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RE: Orthogonalität
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1r\\ -5r \\ -2r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 -1r\\ 16 + 5r \\ -9 +2r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

-2 + r + 80 + 25r -18 + 4r = 0
60 + 30r = 0

für r = -2 stehen sie in einem Winkel von 90° zu einander?

29.03.2011, 22:01

krisha

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RE: Orthogonalität
Fast.
Du musst den Vektor b mit r multiplizieren und nicht mit -r!

29.03.2011, 22:08

studYY

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RE: Orthogonalität
60 + 30r = 0

Aber hier muss r doch negativ sein, damit das Ergebnis 0 ist?

29.03.2011, 22:10

krisha

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RE: Orthogonalität

Zitat:

Original von studYY
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1r\\ -5r \\ -2r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier hast du die Kompnenten von b mit -r multipliziert, du musst aber mit r multiplizieren.

29.03.2011, 22:13

studYY

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RE: Orthogonalität
Ahh! Das meinstest du smile

Also muss ich das Vorzeichen umdrehen und r muss 2 sein?

29.03.2011, 22:14

krisha

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RE: Orthogonalität
Genau smile

29.03.2011, 22:27

studYY

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RE: Orthogonalität
Danke krisha smile

Und zu b:

Die Höhe wäre dann der Vektor von dem wir gerade gesprochen haben also:
a-rb
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\ -10 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 26 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Betrag davon ist:
26.48
Und damit ist die Länge ca 26.5 ?

29.03.2011, 22:33

krisha

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RE: Orthogonalität
Du hast schon wieder den gleichen Fehler gemacht!
b mit 2 multiplizieren und nicht mit -2!

29.03.2011, 22:38

studYY

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RE: Orthogonalität
Oh, tut mir Leid, ich hatte versehentlich einfach diese Zeile genommen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1r\\ -5r \\ -2r \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2\\ 16 \\ -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\ 10 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4\\ 6 \\ -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So?

29.03.2011, 22:40

krisha

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RE: Orthogonalität
Ja Augenzwinkern

29.03.2011, 22:48

studYY

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RE: Orthogonalität
Vielen,vielen,lieben Dank krisha smile

Wünsche dir noch einen schönen Abend Augenzwinkern

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