Laplace-Transformation, Ableitung der Sprungfunktion |
| 29.03.2011, 22:03 | projoe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Laplace-Transformation, Ableitung der Sprungfunktion Eigentlich dachte ich immer, die Ableitung der Sprungfunktion wäre die Diracfunktion. Aber im Zusammenhang mit der Laplace-Transformation bin ich mir nicht mehr so sicher. Denn die Sprungfunktion ist ja für t>0 mit der Konstant-Eins-Funktion identisch und deren Ableitung ist ja Konstant-Null. Und bei Laplace ist ja nur t>0 relevant. Meine Ideen: Außerdem gibt es ja noch den Ableitungssatz, der besagt: Wenn man nun für einsetzt, dann ergibt sich für die Ableitung also muss sein. Hab ich irgendwo einen Denkfehler? Was ist denn nun die Ableitung der Sprungfunktion? |
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| 30.03.2011, 10:59 | dmirschi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Laplace-Transformation, Ableitung der Sprungfunktion Du kannst den Ableitungssatz hier nicht einfach verwenden. Die Sprungfunktion ist im eigentlichen Sinne nicht differentierbar und die Diracfunktion ist auch keine Funktion sondern ein Funktional. Wenn du schon mit der Laplaceztransformation arbeiten willst, betrachte eine stetige Approximation der Sprungfunktion. |
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| 30.03.2011, 13:37 | projoe | Auf diesen Beitrag antworten » |
naja, aber die Laplace-Transformation ist ja mit aus dem Grund erfunden worden, weil man auch nicht differenzierbare Funktionen ableiten will. Natürlich kann man mit den Distributionen alles sauber fundieren, aber der Ingenieur rechnet halt mit Tabellen. Und das ist der Kern meiner Frage: Wenn ich mich als Ingenieur frage, was denn nun die Ableitung der Sprungfunktion ist, dann ist normalerweise die Antwort, dies sei die Dirac-Funktion. Meine Frage zielt dahin, dass ich mich frage, was man einem Anwender (z.B. Vorlesung Signale und Systeme) hier zu erzählen hat, wie hier vorzugehen ist und auf was man aufpassen muss. Der oben zitierte Ableitungssatz findet sich z.B. in Wikipedia (Laplace-Transformation) ohne jegliche Voraussetzung: f'(t) <-> sF(s)-f(0) bzw. da steht dann man müsse für in x=0 unstetige Funktionen f den rechtsseitigen Grenzwert nehmen. Und jetzt frage ich mich, welche Voraussetzung dabei eigentlich fehlt. Die Stetigkeit ist glaub ich nicht des Pudels Kern, denn dann wäre das mit dem rechtsseitigen Grenzwert unnötig. |
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| 30.03.2011, 15:59 | dmirschi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Ableitungssatz in der Form gilt nur bei stückweise stetig differenzierbaren Funktionen. Wenn du hier eine solche Approximation verwendest und dann die Laplacetransformation auf die Ableitung anwendest, siehst du das der Grenzwert gegen 1 geht, was genau die Laplacetransformierte der Dirac-Funtion ist. |
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