Taylor-Reihe sin(x)*cos(x)

29.03.2011, 22:50	garchi	Auf diesen Beitrag antworten »
*Taylor-Reihe sin(x)cos(x)** Hallo Es geht um folgende Aufgabe aus einer Altklausur: f(x) = sin(x) * cos(x) in eine Taylor-Reihe im Punkt 0 entwickeln bis zu einem Term 3. Grades. Jetzt ist die Frage, wie geht man das gut und effizient an, da die Aufgabe ja neben 7 weiteren in 90 Minuten zu schaffen sein sollte. Ich hab erstmal ein Taylorpolynom entwickelt und bin da auf $\begin{eqnarray} T = x - \frac{4}{6} x^{3} \end{eqnarray}$ gekommen. Erst dann hab ich begriffen, dass es ja um eine Reihe geht. Und genau da fehlt mir der richtige Ansatz. Ein paar Gedanken und Fragen dazu hab ich aber: a) Die Reihe von Grund auf entwickeln. Dafür müsste ich natürlich eine Gleichung finden, welche das Verhalten der Ableitungen bis ins Unendliche charakterisiert. Ich habe von der Funktion jetzt 5 oder 6 Ableitungen und erkenne auch ein gewisses Muster, weiß aber nicht wie ich das jetzt als Formel rauskriegen/aufschreiben könnte. Wäre so etwas in der Zeit überhaupt schaffbar? Mathe ist "nur" Nebenfach für mich. b) Die jeweils bekannten Reihen von sin(x) und cos(x) nehmen und irgendwie verbinden. Könnte man hier ein Cauchy-Produkt bilden? c) Mit a und b würde ich ja auf die allgemeinen Formen dieser Taylor-Reihe kommen, wie verträgt sich das damit, dass ich ja nur "bis zu einem Term 3. Grades" entwickeln soll. Bedeutet das vielleicht, dass es viel einfacher geht? Entschuldigt bitte, wenn einige Fragen (oder die ganze Problematik ansich ) etwas "dumm" sind, hatte bisher erst 1 Semester Hochschulmathe und bin da ziemlich verzweifelt und jetzt kräftig am Nachholen. Schon einmal vielen Dank.
29.03.2011, 23:22	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es geht viel einfacher! Ich würde sin(x)cos(x) einfach in (1/2)sin(2x) umwandeln und dann die Taylorreihhe auf den SIN mit dem Argument 2x loslassen. mY+
30.03.2011, 00:15	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch endliche Reihen Die Aufgabenstellung "entwickle bis zum dritten Grad" ist hingegen eindeutig Einfachste Methode meiner Meinung nach a) Ersten drei Abbildungen bilden b) Funktionswerte an der Stelle 0 berechnen (0 ist dabei ein denkbar günstiger Entwicklungspunkt, sin(0) = 0, cos(0) = 1) c) Taylorreihe hinschreiben (und nicht mehr groß kürzen oder anders hinschreiben, einfach gemäß der Definition einer Taylorreihe notieren)
30.03.2011, 00:21	garchi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Das heißt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sin(2x) = \frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray}$ Alles richtig? Ich glaube schon, hab zumindest mal bis n=2 eingesetzt und dann kommt mein Taylorpolynom raus....Schön! Ich muss mich wohl noch sehr intensiv mit den ganzen Umformungsmöglichkeiten bei den trigonometrischen Funktionen auseinander setzen. Dazu dann auch gleich noch eine kurze Frage: Angenommen ich hätte die gleiche Aufgabenstellung, nur mit $\begin{eqnarray} f(x) = cos^{2}(x) \end{eqnarray}$ , könnte ich das dann umformen zu $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}cos(2x)+\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und dann ähnlich verfahren? Müsste das $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dann als Summand vor die Summe? Fällt ja bei der ersten Ableitung weg. Ach und noch etwas: Selbe Aufgabenstellung, $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ Ich hab selber noch nicht soviel über die Aufgabe nachgedacht (ist ja schon spät), aber könnte jemand vielleicht ein Stichwort nennen, falls ich da morgen nicht weiterkomme? So jetzt aber, noch einmal vielen Dank und ciao.
30.03.2011, 00:47	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kim schon schrieb, erste 3 ableitungen bilden und in die vorschrift einsetzen

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