Verknüpfung einer Permutation

30.03.2011, 01:31

ZooBooJoo

Verknüpfung einer Permutation

Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe, welche ich allerdings nicht so wirklich verstehe:

Berechnen sie $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \circ \sigma_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 2 & 4 & 6 & 1 & 5 & 7 & 8 \end{pmatrix} \\ \sigma_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 7 & 1 & 8 & 4 & 2 & 3 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine bisherigen Anstrengungen:
Man sucht ja hier Zyklen, angefangen mit einem Element des hinteren Verknüpfungspartners, hier $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ .
Fixe Permutationen z.B. 8 -> 8 zählen nicht.

Also:
13 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ -> 38 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ (-> 88 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ , raus, da fix) (ERGEBNIS: 138)
34 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ (-> 44 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ , raus, da fix) (ERGEBNIS: 34)
46 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ -> 63 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ -> 34 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ (->44 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ , raus, da fix) (ERGEBNIS: 4634)
51 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ -> 17 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ (-> 77 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ , raus, da fix) (ERGEBNIS: 517)
65 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ -> 52 $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \end{eqnarray*}$ (-> 22 $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ , raus, da fix) (ERGEBNIS: 652)

Also wären das ja hier die Zyklen (138)(34)(4634)(517)(652).

Die Lösung ist aber gaaaanz anders (3 Zyklen mit 4, 2, 2 Elementen), was mich zu der Vermutung veranlasst, dass ich hier etwas falsch mache smile

Was?

30.03.2011, 01:47

ZooBooJoo

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Hat sich geklärt.

In diesem Fall muss man immer 2 Elemente nehmen. Also:
13 -> 38 ==> 18 EINTRAGEN
22 -> 21 ==> 21 EINTRAGEN
34 -> 44 ==> 34 EINTRAGEN
46 -> 63 ==> 43 EINTRAGEN
51 -> 17 ==> 57 EINTRAGEN
65 -> 52 ==> 62 EINTRAGEN
77 -> 75 ==> 75 EINTRAGEN
88 -> 86 ==> 86 EINTRAGEN

Also immer wenn man $\begin{eqnarray*} a \circ b \end{eqnarray*}$ hat, eine Permutation aus b nehmen und die an eine aus a "ranhängen".

So kommt man auf $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \circ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 8 & 1 & 4 & 3 & 7 & 2 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt um in die Zyklendarstellung zu kommen noch diese angeben und benutzte durchstreichen:
(18 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 86 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 62 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 21 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 18(zyklus)) = (1862)
(34 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 43 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 34(zyklus)) = (34)
(57 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 75 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 57(zyklus)) = (57)

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \circ \sigma_3 = (1862)(34)(57) \end{eqnarray*}$

30.03.2011, 08:49

Mystic

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Zitat:

Original von ZooBooJoo
Jetzt um in die Zyklendarstellung zu kommen noch diese angeben und benutzte durchstreichen:
(18 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 86 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 62 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 21 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 18(zyklus)) = (1862)
(34 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 43 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 34(zyklus)) = (34)
(57 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 75 $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ 57(zyklus)) = (57)

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \sigma_4 \circ \sigma_3 = (1862)(34)(57) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip richtig, nur solltest du bei der Zyklenbildung einen Schritt früher aufhören, also

$\begin{eqnarray*} (18\rightarrow 86 \rightarrow 62 \rightarrow 21 \text{ (Zyklus)} )= (1862) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (34 \rightarrow 43 \text{ (Zyklus)}) = (34) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (57 \rightarrow 75 \text{ (Zyklus)}) = (57) \end{eqnarray*}$

Schau dir (mit mouseover!) auch die richtige LaTeX-Schreibweise dazu an!

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