Fk(x) k berechnen

30.03.2011, 09:55

Mick1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Fk(x) k berechnen

Meine Frage:
Gegeben sind die Funktionen fk(x)= x²+kx-k, k e R
a) Gibt es einen Punkt, durch den alle Kurven von fk(x) verlaufen? (Rechnung)
b) Gibt es einen Wert von k, für den die Kurve von fk die x- Achse berührt? (Rechnung)
c) Gibt es einen Wert von k, für den das Minimum von fk am größten ist verwirrt

verwirrt

Rechnung)

Meine Ideen:
Dies ist eine Aufgabe aus meiner alten Klausur. Die Kurvenuntersuchung habe ich bereit gemacht, aber hiermit komme ich nicht weiter. Ich wiederhole im Moment für das Abitur und bräuchte dringend Hilfe. Ich habe mein Heft verlegt und deshalb die Lösungen nicht mehr.
Bei a) glaube ich,dass man irgendwas vielleicht gleichsetzten muss oder so.

30.03.2011, 10:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fk(x) k berechnen

Zitat:

Original von Mick1992610
Bei a) glaube ich,dass man irgendwas vielleicht gleichsetzten muss oder so.

Gute Idee. Offensichtlich soll für verschiedene Werte von k immer das gleiche rauskommen. Formuliere das als Gleichung.

30.03.2011, 10:31

Micky1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Also mache ich das jetzt bestimmten Werten für k? einfach irgendwelche?

Das wäre dann:

x²+1x-1=x²+2x-2
so?

30.03.2011, 10:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Micky1992610
Also mache ich das jetzt bestimmten Werten für k? einfach irgendwelche?

Nein, du nimmst 2 verschiedene, aber nicht weiter festgelegte Werte k1 und k2.

30.03.2011, 10:50

Hubert1965

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage lautete: "Gibt es einen Punkt, durch den alle Kurven von fk(x) verlaufen?"
Wenn du nun die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2+1x-1=x^2+2x-2 \end{eqnarray*}$ nach x auflöst, bekommst du als Lösung jenen Punkt raus, bei dem fk(1) gleich fk(2) ist. Du hast dann aber noch immer keine Ahnung, ob fk(3) auch durch den selben Punkt geht. Die Aufgabe fragt ja danach, ob ALLE Kurven durch einen bestimmten Punkt laufen.

Ein besserer Ansatz wäre diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2+k_1x-k_1=x^2+k_2x-k_2 \end{eqnarray*}$

Zeige, dass x von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig ist.

30.03.2011, 11:00

Micky1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss man bei dieser Aufgabe keine konkrete Lösung finden?
Aber wie sind sie denn von einander abhängig? Das weiß ich nicht.

Anzeige

30.03.2011, 11:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Micky1992610
Also muss man bei dieser Aufgabe keine konkrete Lösung finden?

Doch. Du mußt ein konkretes x finden, für das die Gleichung

Zitat:

Original von Hubert1965
$\begin{eqnarray*} x^2+k_1x-k_1=x^2+k_2x-k_2 \end{eqnarray*}$

immer erfüllt ist. Löse dazu die obige Gleichung nach x auf.

30.03.2011, 11:28

Micky1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.
Also ich habe da so meine Probleme mit dem Auflösen. Ich komme immer nicht damit klar wenn da ein x und ein x² stehen. Wie mache ich das?

30.03.2011, 11:55

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mal x² auf beiden Seiten subtrahierst, dann bist du das schon los. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 12:23

Micky1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie mache ich b und c?

30.03.2011, 12:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist kein b und kein c. Da ist eine simple Gleichung mit nur noch x drin.

30.03.2011, 13:15

Micky1992610

Auf diesen Beitrag antworten »

Das meine ich nicht. Big Laugh

Big Laugh

Ich meine Aufgabenteil b) und c)

30.03.2011, 13:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so. ich dachte, wir rechnen erstmal eine AUfgabe zu Ende.

zu b: was bedeutet es, wenn eine Funktion die x-Achse berührt?

zu c: wie bestimmt man das Minimum?

30.03.2011, 18:15

Hubert1965

Auf diesen Beitrag antworten »

Streng genommen wird in allen drei Aufgaben ja nur "Gibt es ..." gefragt. Es werden also drei geschlossene Fragen gestellt, und die Antwort ist jedesmal nur entweder "ja" oder "nein". Wenn es dir gelingt zu beweisen, dass es einen Punkt gibt, durch den alle möglichen Parabeln durchgehen, ohne die Koordinaten des Punktes explizit zu berechnen, ist die Aufgabe a gelöst.

Ebenso ist Aufgabe b gelöst, wenn es dir gelingt zweifelsfrei nachzuweisen, dass ein bestimmtes k zu einer Kurve führt, die die x-Achse berührt. Weder der genaue Wert für k noch die x-Koordinate des Berührungspunktes sind gefragt.

Sinngemäßes gilt auch für c.

Ich persönlich würde aber in jedem Fall auch die jeweiligen Koordinaten ausrechnen und hinschreiben. Das wird nämlich vermutlich sowieso der einfachste Weg sein die Aufgaben zu lösen.

30.03.2011, 18:41

Hubert1965

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helfe dir mal beim Auflösen der Gleichung:

Du beginnst damit:

$\begin{eqnarray*} x^2+k_1x-k_1=x^2+k_2x-k_2 \end{eqnarray*}$

Nun ziehst du auf beiden Seiten der Gleichung den Term x² ab:

$\begin{eqnarray*} x^2+k_1x-k_1=x^2+k_2x-k_2 \quad \quad \quad | -x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1x-k_1=k_2x-k_2 \end{eqnarray*}$

Damit sind die quadratischen Terme schon mal weg. Nun bringst du alle Terme, die ein x enthalten nach links und alle anderen nach rechts.

$\begin{eqnarray*} k_1x-k_1=k_2x-k_2 \quad \quad \quad | -k_2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1x-k_2x-k_1=-k_2 \quad \quad \quad | +k_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_1x-k_2x=k_1-k_2 \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite x herausheben:

$\begin{eqnarray*} (k_1-k_2)x=k_1-k_2 \end{eqnarray*}$

Beide Seiten durch den Faktor, der vor dem x steht, teilen:

$\begin{eqnarray*} (k_1-k_2)x=k_1-k_2 \quad \quad \quad | /(k_1-k_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k_1-k_2}{k_1-k_2} \end{eqnarray*}$

Den letzten Schritt (das Kürzen des Bruchs) wirst du wohl alleine hinbekommen.

Du hast dann einen sehr einfachen Ausdruck für das x. Jetzt musst du dann nur noch nachsehen, ob in diesem Ausdruck (nach dem Kürzen!) $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ vorkommen.

Sollte eine der beiden Variablen (oder beide) noch vorkommen, dann ist x davon abhängig. Wenn nicht, dann nicht.

Sollte x weder von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ noch von $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ abhängen, dann heißt das, dass man für $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen kann was immer man will, die beiden Kurven werden sich immer im selben Punkt schneiden. Anders gesagt: Alle Kurven müssen dann immer durch diesen einen Fixpunkt durchgehen, was wiederum bedeuten würde, dass die Frage a mit "ja" zu beantworten wäre.

31.03.2011, 08:29

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hubert1965: ich hätte große Lust deinen Beitrag zu zensieren. Denn

1. mißachtest du unsere Boardregeln Prinzip "Mathe online verstehen!" (Komplettlösung)
2. war ich zuerst an dem Thread und hätte das auch ohne Probleme posten können

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »