uneigentliches Integral

30.03.2011, 11:00

stefanz.

uneigentliches Integral

Hallo
ich habe eine Frage zu zwei Aufgaben zur Berechnung von uneigentlichen Integralen.

Bei der Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! x*e^{-3x} \, dx \end{eqnarray*}$

wende ich die partielle Integration an und komme auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{A \to \infty } -\frac{1}{9}*e^{-3*A}*(3A+1)+\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt A gegen unendlich laufen lasse, bekomme ich ja die Form $\begin{eqnarray*} 0*\infty \end{eqnarray*}$ . Dafür liegt doch keine Definition vor oder? Mit l´Hospital bin ich auch nicht weitergekommen.
Das Ergebnis muss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ sein.

zu meiner 2.Frage:

ich habe versucht für die Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \end{eqnarray*}$ herauszufinden für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \in R \end{eqnarray*}$ das uneigentlich Integral existiert.

nach Berechnung des Integral komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{A \to \infty } \frac{1}{1-\alpha } (1-A^{-\alpha +1)} \end{eqnarray*}$

ich würde jetzt sagen, das Integral existiert für alle $\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ (laut musterlösung auch richtig) weil wenn ich 1 in den Nenner einsetzen würde hätte ich ja eine 0 im Nenner und dafür wäre es nicht definiert.

nur was ich nicht verstehe ich bekomme doch trotzdem immer den Ausdruck unendlich hoch einer Zahl wenn ich A gegen unendlich laufen lasse und dafür wäre das Integral doch nicht existent oder?

Vielleicht kann mir jemand sagen ob meine Vorgehensweise richtig ist bzw was mein Denkfehler ist.

gruß Stefan

30.03.2011, 11:20

dmirschi

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RE: uneigentliches Integral
Zur 1. Frage:

Versuche mal L'Hospital, wenn du den Term als $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$
schreibst.

Zu 2.:

Was wird denn dein "Unendlich" hoch einer Zahl wenn dein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$
größer 1 ist?!

30.03.2011, 11:20

klarsoweit

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RE: uneigentliches Integral

Zitat:

Original von stefanz.
wenn ich jetzt A gegen unendlich laufen lasse, bekomme ich ja die Form $\begin{eqnarray*} 0*\infty \end{eqnarray*}$ . Dafür liegt doch keine Definition vor oder? Mit l´Hospital bin ich auch nicht weitergekommen.

Im Prinzip muß man $\begin{eqnarray*} \lim_{A \to \infty } e^{-3A} \cdot (3A + 1) \end{eqnarray*}$ bilden. Und das geht mit l'Hospital wunderbar, wenn man mal $\begin{eqnarray*} e^{-3A} \cdot (3A + 1) = \frac{3A + 1}{e^{3A}} \end{eqnarray*}$ schreibt.

Zitat:

Original von stefanz.
nur was ich nicht verstehe ich bekomme doch trotzdem immer den Ausdruck unendlich hoch einer Zahl wenn ich A gegen unendlich laufen lasse und dafür wäre das Integral doch nicht existent oder?

Ich weiß ja nicht, was du rechnest. Im Grunde geht es um $\begin{eqnarray*} \lim_{A \to \infty} A^{-\alpha +1} \end{eqnarray*}$ . Schreibt man $\begin{eqnarray*} A^{-\alpha +1} = \frac{1}{A^{\alpha -1}} \end{eqnarray*}$ , dann sieht man, daß das für alpha > 1 gegen Null geht.

EDIT: einen Tick zu spät. traurig

30.03.2011, 16:13

stefanz.

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zu der ersten Aufgabe:

da schein ich irgendwas beim l´hospital falsch zu machen.
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{3A+1}{e^{3A} } \end{eqnarray*}$ und dann ableite bekomme ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{3}{3e^{3A} } \end{eqnarray*}$ heraus. Wenn ich das jetzt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ laufen lasse, bekomme ich doch wieder die Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 07:51

dmirschi

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Na wenn du genau hinschaust bekommst du $\begin{eqnarray*} \frac{0}{\infty } \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 08:22

klarsoweit

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Noch genauer: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern