punktweise und gleichmäßige Konvergenz

30.03.2011, 11:12

ChronoTrigger

punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Hi,

ich möchte die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n(x):=\sqrt{\frac1n+x^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz überprüfen.

Leider ist dieses Thema noch absolutes Neuland für mich, deshalb wende ich mich an euch.

Ich versuche mal, mit der punktweisen Konvergenz anzufangen.
zunächst einmal die Definition:

$\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ konvergiert auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <=> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \forall x \in \mathbb R \exists n_0 \in \mathbb N \forall n > n_0 : |f_n(x)-f(x)| < \epsilon \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich mir gedacht, dass ich 3 Fälle unterscheiden kann:
$\begin{eqnarray*} x=0, x<0 und x>0 \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} f_n(x)=\sqrt{\frac1n} \end{eqnarray*}$ und dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac1n} = 0 \end{eqnarray*}$

hier würde meine Funktionenfolge dann punktweise gegen die Nullfunktion konvergieren.

2) $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

hier wäre $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac1n+x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac1n +x^2) } \end{eqnarray*}$ wegen der stetigkeit der wurzelfunktion
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|x| = x \end{eqnarray*}$

in dem Fall hätte ich dann punktweise Konvergenz gegen die Identitätsfunktion

3) $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac1n+x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{\lim_{n \to \infty} (\frac1n +x^2) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|x| = -x \end{eqnarray*}$

und in dem Fall dann punktweise Konvergenz gegen die negative Identitätsfunktion.

sind meine Überlegungen bis hier hin richtig?

30.03.2011, 11:54

dmirschi

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RE: punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Deine Definition der punktweisen Konvergenz ist die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Bei punktweiser Konvergenz kann
$\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ vom jeweiligen Punkt x abhängen. Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz aber nicht die Umkehrung.

30.03.2011, 13:40

ChronoTrigger

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Ah, danke für den hinweis.

dann versuche ich es noch einmal:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0| \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} |\sqrt{\frac1n}| \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac1n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac1n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac1n_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < \epsilon \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ .

in dem Fall habe ich also gleichmäßige Konvergenz, und somit insbesondere auch punktweise Konvergenz.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-x|=|\sqrt{\frac1n +x^2}-x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\sqrt{\frac1n +x^2}| + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac1n +x^2} + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac1n +x^2+x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n_0}+x^2+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < \epsilon \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

hier habe ich dann also nur punktweise konvergenz und keine gleichmäßige konvergenz.

3. Fall $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)+x|=|\sqrt{\frac1n +x^2}+x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\sqrt{\frac1n +x^2}| + |x| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac1n +x^2} - x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac1n +x^2-x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{n_0}+x^2-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} < \epsilon \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} n_0 > \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

hier ist wieder nur punktweise konvergenz, keine gleichmäßige.

ist das so richtig?

31.03.2011, 09:26

dmirschi

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Deine Abschätzung ist etwas zu grob. Du kannst gleich zeigen, dass die Folge gleichmäßig konvergiert, wenn du die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac1n +x^2} \leq \sqrt{\frac{1}{n}} + | x | \end{eqnarray*}$

verwendest.

31.03.2011, 10:07

ChronoTrigger

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Zitat:

Du kannst gleich zeigen, dass die Folge gleichmäßig konvergiert,

das heißt also die folge konvergiert gleichmäßig in allen 3 Fällen? Dann ist das, was ich im post vorher geschrieben habe, falsch.

Wenn ich deinen Hinweis richtig verstehe, meinst du folgendes:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\sqrt{\frac{1}{n}+x^2 }-|x| | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq |\sqrt{\frac{1}{n}+x^2 }|-||x| | \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \sqrt{\frac1n} +| x | - || x || \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac1n} \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 10:31

dmirschi

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völlig korrekt.

31.03.2011, 10:36

tmo

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
das heißt also die folge konvergiert gleichmäßig in allen 3 Fällen? Dann ist das, was ich im post vorher geschrieben habe, falsch.

Bei gleichmäßiger Konvergenz gibt es keine Fälle bzgl. des Argumentes. Entweder konvergiert eine Funkionenfolge gleichmäßig auf einer bestimmten Menge oder nicht.

Vor allem die Betrachtung eines einzigen Puntkes (x=0 z.B. bei dir) macht keinen Sinn.

31.03.2011, 10:41

ChronoTrigger

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danke für die hilfe und erklärungen euch beiden, jetzt ist mir das klar geworden.

damit sollte die aufgabe dann gelöst sein.

01.04.2011, 14:05

stoney19

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= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac1n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \frac1n \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung ist doch nicht korrekt oder? 1/n ist kleiner gleich sqrt(1/n) für n>=1. Damit ist doch Chronotriggers Abschätzung falsch oder?

01.04.2011, 14:07

Kimi_R

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Seh ich genau so wie Stoney

01.04.2011, 15:20

dmirschi

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Das stimmt natürlich, betrifft aber den 2. Beitrag. Die Abschätzung im letzten Beitrag von Chronotrigger ist schon korrekt.

01.04.2011, 18:14

stoney19

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kann man das dann so weiter abschätzen?
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{\frac1n} \end{eqnarray*}$
<= 1/sqrt(n0) < epsilon => n0 > epsilon^2