summe als produkt

30.03.2011, 12:15

Pablo

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summe als produkt

moin moin, ich nerv mal wieder mit meinen matheproblemen Augenzwinkern

Augenzwinkern

also ich soll die summen als produkt schreiben, mithilfe der bin formeln. okay wir haben z B das hier

$\begin{eqnarray*} a²+4a+4 \end{eqnarray*}$

jetzt würde ich es so machen, dass ich die wurzel ziehe der beiden äußeren summanden, dadurch bekomme ich die beiden summanden

$\begin{eqnarray*} a; 2 \end{eqnarray*}$

das nun mit 2 multipliziere und das ergbigt 4a.

so nun wüsste ich, dass uich den binom hier anwenden kann und mache somit

$\begin{eqnarray*} (a+2)² \end{eqnarray*}$

ist das ein sicheres vorgehen und empfehlenswert?

30.03.2011, 12:23

Equester

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Ja, so mach ichs auch.
Wurzel ziehen der beiden äußeren und überprüfen obs mit der Mitte klappt Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 12:35

Pablo

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aber hier entstehen keine 2 ergebnisse nach dem wurzelziehen oder? also + - wurzel

30.03.2011, 12:42

Equester

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-

siehe drunter

30.03.2011, 12:47

lgrizu

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Zitat:

aber hier entstehen keine 2 ergebnisse nach dem wurzelziehen oder? also + - wurzel

Wieso sollte es bei einem Term 2 Ergebnisse geben? verwirrt

verwirrt

Vor allem, Ergebnisse für was?

Wenn du den Term vereinfachen sollst, dann solltest du es lassen, die Wurzel zu ziehen, denn $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \neq (a+b) \end{eqnarray*}$ .

30.03.2011, 12:49

Pablo

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igrizu das hab ich mir natürlich schon gedacht, ich wollte nur auf nummer sicher fragen. lieber einmal zuviel als zuwenig. ich mach gleich weiter mutter stört

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30.03.2011, 13:10

Pablo

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okay dann machen wir das doch mal

$\begin{eqnarray*} 9x²-12xy+4y² \end{eqnarray*}$

radizieren wir die äußeren summanden

3x; 2y

multiplizieren wir das

3x * 2y * 2 = 12xy --> passt

dann nehmen wir die beiden doch gefangen in klammern :P

$\begin{eqnarray*} (3x-2y)² \end{eqnarray*}$

okay?

bei der dritten dürfte es ja auch nicht viel anders sein. oder

30.03.2011, 13:14

lgrizu

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Ich würde dir für die Zukunft vorschlagen, ein Quadrat und den gemischten Summanden zu betrachten, bei solch einfachen Aufgaben geht das noch, aber irgendwann kommt quadratische Ergänzung.

30.03.2011, 13:17

Pablo

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aha okay, ich behalte es im hinterkopf. ähhhhm irgendwie steh ich gerade aufm schlauchw wegen der dritten.
im buch steht, achte darauf, dass bei der dritten formel das rechenzeichen - zwischen den summanden sein muss.

also nur sachen we

a² - 16

a² - 9

okay, aber wie geht das jetzt mit der dritten. auch wurzel ziehen und das als doppelklammer jetzt schreiben oder wie?

nehmen wir a² - 16 = (a - 4) (a+4)

30.03.2011, 13:21

lgrizu

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Jap, ist richtig.

30.03.2011, 13:31

Pablo

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SEHR GUT!

ich komme langsam in die mathematik rein, was mir bis vor ein paar monaten noch schwer fiel, schaffe ich jetzt durch ein, zwei mal geschicktes nachdenken und kann mir gleich eine schema ableiten.

Danke Freude

Freude

30.03.2011, 13:45

Pablo

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jetzt hab ich doch noch eine frage. wie ist es hier?

$\begin{eqnarray*} 16c^{4}-40c²d²+25d^{4} \end{eqnarray*}$

zieh ich jetzt auch die wurzel oder wie? aber dann hab ich ja immer noch die potenz hoch²

30.03.2011, 13:55

Equester

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Ja nimm doch mal deinen Trick von deinem zweiten oder dritten Post und wende
ihn hier an! Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 14:00

Pablo

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wenn ich die wurzel ziehem komme ich beim ersten summanden auf

16c² und bei dem zweiten auf 25d²

und jetzt?

30.03.2011, 14:11

Equester

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Aha. Ich nicht.
Probiers gleich nochmals!
Warum nimmst du nur die Wurzel von $\begin{eqnarray*} c^4 \end{eqnarray*}$ nicht aber von 16 verwirrt

verwirrt

30.03.2011, 14:32

Pablo

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achso

4c² & 5d² = 20cd²² * 2 = 40c²d²

(4c² - 5d²)²

30.03.2011, 14:37

Equester

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Abgesehen von einem Schreibfehler, stimmts Freude

Freude

30.03.2011, 14:45

Pablo

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aha okay, wie wäre das bei höheren potenzen? genauso?

30.03.2011, 14:47

Equester

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Sprichst du von der Potenz der Klammer? Oder dessen Inhalt?

30.03.2011, 15:01

lgrizu

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Equester hat etwas recht interessantes angesprochen, und zwar, wie es ausschaut, wenn man von den Summanden an den Rändern die Wurzel zieht, es wird die Wurzel aus einem Quadrat gezogen und es gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ , ist die binomische Formel, die zur Anwendung kommt eindeutig?

Die Antwort ist ja.

Dazu spielen wir die möglichen Fälle einmal durch, es ist $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir an, wir haben die rechte Seite gegeben und nehmen uns die beiden Ränder vor, also $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , daraus ziehen wir die Wurzel, also wir erhalten $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{b^2}=|b| \end{eqnarray*}$ , welche Vorzeichen haben nun a und b?

das geht aus dem mittleren Teil hervor, also aus dem Produkt 2ab, ist hier das Vorzeichen negativ, so ist einer der beiden Summanden negativ, ist das Vorzeichen positiv, so sind beide Summanden positiv oder negativ, wie aber wird der negative Summand ermittelt, wenn es denn einen gibt, oder ist es gar egal, welcher Summand negativ ist?

Darauf lautet die Antwort: es ist egal.

Wir betrachten nun einmal alle drei Fälle:

1.) a,b>0, sollte klar sein.

2.)a,b<0, dann ist $\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ , welche Vorzeichen hat nun welcher Summand?

Da das Quadrat einer negativen Zahl immer positiv ist müssen wir nur den mittleren Summanden betrachten, welches Vorzeichen hat er?

Antwort: positiv, denn das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv.

Ist das Ergebnis also $\begin{eqnarray*} ((-a)+(-b))^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Auch das ist egal, denn es ist: $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=(-(a+b))^2=(-a-b)^2 \end{eqnarray*}$

3.)Ein Wert ist größer als 0, einer kleiner als 0, aber welcher Wert ist größer als 0?

Ist es überhaupt wichtig, ihn konkret zu ermitteln?

Auch hier ist die Antwort nein.

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ nun ist einer der beiden Werte kleiner als als 0, aber auch hier die Frage, welcher es ist oder ob das überhaupt eine Rolle spielt.

Wir betrachten die rechte Seite der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun b negativ, also b=-b' für ein positives b', wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} a^2-2ab'+b'^2=(a-b')^2=(-(-a+b'))^2=(-(b'-a))^2=(b'-a)^2=b'^2-2ab'+a^2 \end{eqnarray*}$ , also auch hier spielt es keine Rolle, ob a<0 ist oder b<0.

30.03.2011, 15:08

Pablo

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oh nein igrizu traurig

traurig

ich check gar nichts, muss jetzt auch weg. komme nachher und gucke mir das genauer an und stelle dann wieder, wie blöd fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 16:26

Pablo

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ich check ehrlich gesagt nicht gerade was du meinst. wieso machst du betragsstriche dahin? dadurch, dass du wie wurzel ziehst werden die beiden summanden zuum betrag meinst du. Danach ist ungewiss welches vorzeichen die bekommen sollen, wel ja die wurzel gezogen wurde. so meinst du das oder?

und das vorzeichen wird anhand des vorzeichens des mittleren summanden ermittelt, oder? so meinst du das doch!?

30.03.2011, 17:26

lgrizu

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So in etwa.

Es ist $\begin{eqnarray*} (a-b)^2=(b-a)^2 \end{eqnarray*}$ , das ist auch noch eine Quintessenz.

Der Beitrag sollte dich auch nicht verwirren, entschuldige, wenn er das getan hat.

30.03.2011, 17:27

Equester

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Ahh, danke dir, lgirzu.
Das beantwortet dann auch meine Frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 17:32

Pablo

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doch verwirrt mich, aber ich lass mich jetzt deswegen nicht aus der ruhe bringen.
ich mach das einfach mal so wie gehabt und wenn der lehrer das nächstes jahr erklärt, wird er sicherlich darauf eingehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.03.2011, 18:16

Pablo

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jetzt muss ich nochmal fragen. bei einer höheren potenz wird immer nur die wurzel gezogen, also man geht sozusagen maximal zwei potenzen runter in den summanden oder?

30.03.2011, 18:21

lgrizu

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Das kommt darauf an, was du machen möchtets, aber wenn es um binomische Formeln vom Grad 2 geht, dann benutzt man $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ , also findet die Quadratwurzel anwendung, jap.

a und b selbst können auch wieder beliebige Potenzen einer Zahl oder eines Produktes sein.

30.03.2011, 18:25

Pablo

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aha okay. noch kutrz was anderes.
die dritte formel kann man ja sozusagen mit jeden x beliebigen beiden summanden andwenden, sie müssen nur beide im qudrat sein, richtig?

also

x² - y² = (x +y) (y - x)

die einztig gemeinsamkeit, die sie brauchen ist das quadrat in der potenz, richtig? alles andere ist egal

30.03.2011, 18:42

lgrizu

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Hier aber aufgepasst, was die Vorzeichen angeht, es ist:

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a-b) \cdot (a+b)=(-(a-b)) \cdot (-(a+b))=(b-a) \cdot (-a-b) \end{eqnarray*}$

Was bedeutet, dass die Reihenfolge der Summanden in den beiden Klammern unbedingt zu beachten ist.

Im Unterschied zu den beiden anderen binomischen Formeln kann diese negativ werden wenn gilt a<b.

Auf deine Aufgabe bezogen bedeutet das: $\begin{eqnarray*} x^2-y^2=(x+y)(x-y) \neq (x+y)(y-x)=(x+y)(-(x-y))=-(x+y)(x-y)=-(x^2-y^2)=(y^2-x^2) \end{eqnarray*}$ .

30.03.2011, 18:56

Pablo

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und wieso erwähnte das bis jetzt niemand oder wird auch in keinem buch erwähnt??

30.03.2011, 18:58

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe keine Bücher, also kann ich dir das nicht sagen, warum das keine Erwähnung findet, ich bin mir aber sicher, dass in jedem Buch steht:

$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2)=(a+b)(a-b) \end{eqnarray*}$ und nichts anderes.

30.03.2011, 18:59

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja so stehts auch, aääähm also heißt das, das gilt nur für die dritte??

30.03.2011, 19:03

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau gilt nur für die dritte?

Sie ist die einzige, die einen negativen Wert annehmen kann, die beiden anderen sind immer positiv, deshalb ist auf der rechten Seite unbedingt die Reihenfolge zu beachten.

30.03.2011, 19:05

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

aha okay, dann beachte ich einfach die reihenfolge. als erstes plus dann minus. dann bin ich ja auf der sicheren seite, oder?

30.03.2011, 19:08

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um die Reihenfolge der Differenz:

(a²-b²)=(a+b)(a-b), hier dürfen a und b nicht vertauscht werden, das Produkt unterliegt genau so wie die Summe dem Assoziativgesetz, da ist die Reihenfolge schnuppe, aber der Ausdruck (a-b) ist der entscheidende, denn es ist $\begin{eqnarray*} a-b \neq b-a \end{eqnarray*}$ wie man leicht ausrechnen kann.

Du hast allerdings geschrieben:

(x^2-y^2)=(x+y)(y-x), und das ist falsch.

30.03.2011, 19:29

Pablo

Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay.

ich hab diese aufgabe hier

$\begin{eqnarray*} v²-\frac{4}{5}vw+\frac{4}{25}m² \end{eqnarray*}$

ich ziehe die wurzel der äußeren summanden

und bekomme

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}m \end{eqnarray*}$

ich multipliziere die beiden mit sich selbst und dann mit der 2

und bekomme den mittleren summanden. also passt.

nun klammer ich ein

$\begin{eqnarray*} (v - \frac{2}{5}m)² \end{eqnarray*}$

stimtmt das?

30.03.2011, 19:52

Quastor

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Zitat:

Original von Pablo

$\begin{eqnarray*} v²-\frac{4}{5}vw+\frac{4}{25}m² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (v - \frac{2}{5}w)² \end{eqnarray*}$

stimtmt das?

Du meinst vermutlich das richtige, jedoch ist mir nicht klar wie man anstatt einem "m" ein "w" schreibt.

30.03.2011, 19:56

Pablo

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ja war ein tippfehler, hab es editiert. stimmt das oder?

laut lösung ist es nämlich falsch. dort wird die erste binomische formel genommen, also +

30.03.2011, 19:59

Quastor

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Bis auf noch einen weiteren Schreibfehler ist es richtig. Zur Probe kannst du ja deinen Term mal ausmultiplizieren.

30.03.2011, 20:00

Pablo

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ja dacht ichs mir doch. dann hat der freigin sich im buch verrechnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

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