Exponentialverteilung und Verteilungsdichte

30.03.2011, 16:26

wurmi86

Exponentialverteilung und Verteilungsdichte

Hallo Matheboarder,

ich hab hier eine Exponentiell verteilte Größe X, $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ . und Muss die Verteilungsdichte von X² bestimmen:

1 = $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \lambda e^{\lambda -x} \, dx \end{eqnarray*}$

setze ich für x einfach x^2 ein?

MfG Wurmi

30.03.2011, 17:13

Huggy

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RE: Exponentialverteilung und Verteilungsdichte
So geht das natürlich nicht. Der solideste Weg geht über die Verteilungsfunktion. Sei Y = X^2. Dann hat man

$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt y) \end{eqnarray*}$

Das letzte = gilt, weil X nicht negativ ist. Damit hast du die Verteilungsfunktion von Y auf die Verteilungsfunktion von X zurückgeführt. Durch Ableiten bekommst du die Dichte von Y.

Alternativ kannst du in deinem Integral, das einen Schreibfehler enthält, die Substitution y = x^2 machen. Das neue Integral enthält die Dichte von Y.

30.03.2011, 18:15

Tharion

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das heißt man hat dann $\begin{eqnarray*} \sqrt {y} \end{eqnarray*}$ als obere und $\begin{eqnarray*} -\sqrt {y} \end{eqnarray*}$ als untere Integralgrenze?

30.03.2011, 18:38

Huggy

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Wie kommst du denn auf diese Schnapsidee? unglücklich

Du solltest dich mal mit den Substitutionsregeln vertraut machen!

30.03.2011, 19:07

Zündholz

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RE: Exponentialverteilung und Verteilungsdichte
Hallo,
sorry dass ich mich einmische,

Zitat:

Original von Huggy

$\begin{eqnarray*} F_Y(y)=P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(X \leq \sqrt y) \end{eqnarray*}$

bzw.
$\begin{eqnarray*} = P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) \end{eqnarray*}$

Damit rechnet man doch dann

$\begin{eqnarray*} P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) = \int_{-\sqrt y}^{\sqrt y} \lambda \exp(-x \lambda) 1_{[0,\infty[}(x) dx \end{eqnarray*}$

Ist das nicht so oder täusch ich mich da??

Schöne Grüße

30.03.2011, 19:26

Huggy

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RE: Exponentialverteilung und Verteilungsdichte

Zitat:

Original von Zündholz
$\begin{eqnarray*} = P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) \end{eqnarray*}$

Damit rechnet man doch dann

$\begin{eqnarray*} P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) = \int_{-\sqrt y}^{\sqrt y} \lambda \exp(-x \lambda) 1_{[0,\infty[}(x) dx \end{eqnarray*}$

Ist das nicht so oder täusch ich mich da??

Das kann man so machen.

Die Frage von Tharion bezog sich aber meiner Meinung auf die von mir als Alternative in

$\begin{eqnarray*} 1=\int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}dx \end{eqnarray*}$

vorgeschlagene Substitution.

Bei dem Weg über die Verteilungsfunktion hatte ich doch darauf hingewiesen, dass man wegen X >= 0 nur $\begin{eqnarray*} P(X \leq \sqrt y) \end{eqnarray*}$ braucht. Du hast das über die Indikatorfunktion hineingebracht. Und dann wollte ich nicht über die Dichte integrieren, sondern einfach fortsetzen

$\begin{eqnarray*} P(X \leq \sqrt y) = F_X(\sqrt y) \end{eqnarray*}$

und die Dichte durch Ableiten gewinnen. Dabei ist die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung als bekannt vorausgesetzt.

30.03.2011, 19:59

Tharion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) = \int_{-\sqrt y}^{\sqrt y} \lambda \exp(-x \lambda) 1_{[0,\infty[}(x) dx \end{eqnarray*}$

was bedeutet der rest des integrals, also nach der funktion der exponentialverteilung?

$\begin{eqnarray*} 1_{[0,\infty[}(x) \end{eqnarray*}$ ???

30.03.2011, 20:14

Huggy

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Das ist die Indikatorfunktion. Sie ist in dem als Index angegebenen Bereich 1 und sonst 0. Für theoretische Untersuchungen ist die Verwendung der Indikatorfunktion äußerst nützlich. Wenn man etwas konkret ausrechnen will, muss man sie weglassen und die Integralgrenzen entsprechend anpassen. Hier würde die untere Grenze dann 0 werden.

Falls du mit deinen Grenzen das gemeint haben solltest, was Zündholz geschrieben hat, nehme ich meinen Vorwurf der Schnapsidee zurück. Auf dem Weg kommt aber keine Substitution vor.

31.03.2011, 06:22

Tharion

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ich hatte mit meiner Frage einfach so ins Blaue reingefragt. Denn mir ist deine Notation bekannt vorgekommen. Die hatten wir vor urgrauen Zeiten (mehreren Monaten) in den Übungsveranstaltungen verwendet. In der Vorlesung aber irgendwie nicht und ich war zu jeder einzelnen anwesend.
thx für die flotte Antwort smile

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