Nullstellen

30.03.2011, 16:33	spectre	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen Zeige, dass $\begin{eqnarray} p_n:\mathbb R\longrightarrow\mathbb R,~p_n(x):=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray}$ für gerades $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ keine und für ungerades $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ genau eine reelle Nullstelle hat. Diese Aufgabe befindet sich auf meinem Analysis 1 Übungsblatt und ich finde keinen vernünftigen Ansatz. Help!
30.03.2011, 16:55	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen Hallo, Zunächst mal für gerades n: Mal angenommen p_n hätte eine Nullstelle... Dann würde ich mir folgende drei Punkte überlegen: 1) kann x in dem fall >= 0 sein? 2) was müsste dann für die ungeraden k in Bezug auf die geraden k in der Summe gelten bzw. wie stehen dann beide zueinander (wenn man sich die Summe über gerade k und ungerade k getrennt anschaut)? 3) Wie schaut die Summe zweier aufeinander folgender Glieder aus (Vorzeichen)? Hilft dir das weiter? Schöne Grüße
30.03.2011, 17:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde unter Beachtung der Tatsache $\begin{eqnarray} p'_{n+1} = p_n \end{eqnarray}$ eine Induktion vorschlagen. Man zeigt, dass die Aussage für 2n und 2n+1 gilt durch Induktion über n. D.h. man macht beide Induktionsanfänge und im Induktionsschritt auch immer beide Schritte. Dabei muss man wirklich nur $\begin{eqnarray} p'_{n+1} = p_n \end{eqnarray}$ und sich daraus ergebende Beziehungen zwischen den Funktionen beachten. Man kann die ursprüngliche Darstellung als Summe völlig vergessen.
01.04.2011, 09:18	spectre	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest Du mir sagen welche Beziehungen zwischen den Funktionen sich aus $\begin{eqnarray} p'_{n+1} = p_n \end{eqnarray}$ ergeben?
01.04.2011, 12:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.b. so Sachen wie den Satz von Rolle oder der Fakt, dass die Nullstelle von $\begin{eqnarray} p_{2n-1} \end{eqnarray}$ ein Minimum von $\begin{eqnarray} p_{2n} \end{eqnarray}$ ist. Mein Versprechen kann ich übrigens nicht ganz halten, man braucht auch noch eine Sache, die aus der Summendarstellung folgt: Es ist $\begin{eqnarray} p_{2n}(x) > p_{2n-1}(x) ~ \forall x \in \mathbb R \setminus \{ 0\} \end{eqnarray}$ . Letzteres sollte man im Induktionsschritt zusammen mit obig erwähntem Zusammenhang zwischen Minimum und Nullstelle benutzen.

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