Reihe berechnen

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Andrade Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe berechnen
Meine Frage:
a) Berechne


b) Ist konvergent? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Meine Ideen:
Also ich weiß nicht wie ich da ran gehen soll.
Ich weiß, wie man den Limes bestimmt. Aber was hat dieses Summenzeichen davor jetzt damit zu tun?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe berechnen
Für a: Geometrische Reihe (achte auf die Indizes)

Für b: Majorantenkriterium
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

für a: geometrische Reihe kenn ich nur das hier



Wie geht es weiter?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein bisschen dünn, da müsste in deinen Aufzeichnungen noch mehr zu finden sein, wenn du die Reihe oben ausrechnen sollst.

Für die geometrische Reihe gibt es explizite Lösungsformeln.

Siehe ansonsten auch hier.

Edit: Zudem steckt ein Fehler in dem, was du da jetzt geschrieben hast. Achte auf den Laufindex!
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »



Wichtig für diese Formel: (die in deinen Aufschrieben tatsächlich vorhanden sein sollte) Die Summe muss bei i = 0 beginnen und nicht bei i = 1
Also musst du dir noch überlegen, wie du das hinbekommst (ist ein kleiner, harmloser Trick)
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ihr habt Recht.
Beim Laufindex war ein Fehler.
Es beginnt bei i = 0



Naja, jedenfalls danke für den Link.
Ich habe es jetzt besser verstanden und versuche mal wiederzugeben, was ich verstanden habe.



Wir haben eine Reihe.
Sagen wir mal, dass wir die Partialsummen, von der Reihe, von 1 bis z.B. 40 alle aufsummieren wollen.

Wir brauchen eine Gleichung.
Wir schauen uns die Reihe an, und sehen, dass immer mit dem gleichen Faktor multipliziert wird, nämlich .

Dies lässt darauf schließen, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt.
Dafür gibt es eine Gleichung, die Partialsummen bis (z.B. 40) aufsummiert.
Sie lautet:



a1 ist die Summe bei n=1, q müsste 1/3 sein.
Weil q kleiner als 1 ist, gibt es eine andere Formel.

Sie lautet:




Ich könnte auch 100000 einsetzen, aber ich denke 40 reicht auch.
Bei mir kommt für Aufgabe a) 1,5 raus.
 
 
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir kommts auch raus


Aber dein Ansatz ist viel mathematischer
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Hhhmmm....
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier:

Zitat:
Original von Andrade

stimmt so aber nicht. Die Summe muss bei i=0 loslaufen. Oder rechts entfällt der erste Summand, die 1. Denn das ist ja gerade das q^0. Wenn das in eurem Skript so steht, ist das nunmal ein Fehler. Auch Professoren sind ja nicht unfehlbar.

Das Ergebnis 8 stimmt.

Edit: Oha, da hat sich ja einiges dazwischen geschoben.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, es fängt bei 0 an, habe falsch abgeschrieben.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hatte etwas korrigiert und nicht gesehen, dass schon eine Antwort da war.


Also, ich muss doch die Gleichung für q kleiner 1 nehmen oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichung gilt auch für q betragsmäßig größer gleich 1. Nur konvergiert die Reihe dann eben nicht mehr für n gegen unendlich, wie man ja leicht ablesen kann.

Edit: Oder meinst du jetzt das:



? Dann stimmt es, das gilt nur für |q| kleiner 1.

Edit 2: Also, das geht mir hier jetzt viel zu sehr durcheinander, ich bin raus aus diesem Thread.
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Beispiel, also Aufgabe a) ist das q = 1/3, wenn man den Faktor 16 vor die Summe schreibt.

Und 1/3 ist ja kleiner als 1, insofern darf die Formel benutzt werden
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

die 16 davor....hhmmmmm
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei der Formel für q kleiner 1, hatte ich die 16 komplett vergessen.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würd jetzt nochmal gern von Vorne anfangen.

Ich sollte die Gleichung berechnen.

q war 1/3


Welche der Gleichungen soll ich jetzt nehmen?
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

An der Stelle ist es vielleicht besser, die Aufgabe für dich nochmal sauber hinzuschreiben, bevor die Verwirrung zu groß wird.



Warum? Wir fügen den Summanten hinzu und ziehen die 1 gleich wieder ab. q^0 = 1 gilt ja für beliebige q
Und wieso machen wir das? Weil für unsere Formel der Startindex bei k = 0 anfangen muss

Angewand auf unsere Aufgabe


Und jetzt überleg dir für welchen Teil die Formel gilt und was du danach noch tun musst
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

OK, habe verstanden, dass die Formel nur für einen Startindex ab 0 funktioniert. Also müssen wir auch die Funktion ändern.

Wieso ziehen wir die 1 aber wieder ab?
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wollen die Reihe beziehungsweise das Ergebnis ja nicht verändern. Die Aufgabe ist also, den Laufindex von k = 1 auf k = 0 zu bekommen

Ich versuch das mal anhand eines Beispieles zu verdeutlichen



Ändern wir jetzt einfach mal den Startindex von k = 1 auf k = 0 dann erhalten wir einen zusätzlichen Summanten, natürlich den für k = 0



Da (1/3)^0 = 1, haben wir also eine 1 zu viel. Also ziehen wir die wieder ab

Somit haben wir den Laufindex wie gewünscht auf 0 gebracht, ohne den Wert der Reihe zu ändern
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast du hervorragend erklärt.

Jetzt wollen wir also berechnen.

Wir nehmen die Formel



Daraus folgt
= 2/3



Aber ich hab ja paar Sachen vergessen, nämlich stand 16 davor und ich hab die -1 vergessen.
Die werden dazu gerechnet:


Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Passt außer einer kleinigkeit. Muss natürlich 3/2 statt 2/3 heißen Freude

Nun noch zur b)
Der Tipp von einem anderen User war ja "Majorantenkriterium"
Hattet ihr das schon?
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön, da freu ich mich.

Nochmal zu a) - dieses hin und her vom "Endindex".
Wann ist es n und wann ist es ?
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung heißt es bei der Summe ja . Da die natürlichen Zahlen nach oben unbeschränkt sind ist dies gleichbedeutend mit einem "Endindex"

Bei Reihen wird der obere Index fast immer unendlich sein. Das Summenzeichen kommt jedoch natürlich in anderen Kontexten auch mit endlichen "Endindize" vor.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke.
Ja der Tipp mit dem Majorantenkriterium ist gut.

Also die Reihe ist eine MAJORANTE der Reihe , wenn





Jetzt muss man iwas mit oder vergleichen oder?
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Und wenn eine Majorante hat, ist konvergent.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Also suchen wir eine Reihe, die konvergent ist, und schauen ob es eine Majorante von ist. Dann wüssten wir, dass konvergent ist.
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Als Majorante und Minorante unbedingt merken sollte man sich

divergent

konvergent

Mehr zu kennen ist natürlich gut, aber die beiden sind Pflicht.

Zur Aufgabe editier ich gleich noch was
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal ein einfaches Beispiel zum Majorantenkriterium

konvergiert. Warum?



Von der Reihe
wissen wir bereits, dass sie konvergiert

Damit haben wir die Konvergenz meiner Beispielreihe bereits bewiesen

Noch ein Tipp. Eine Folge macht man größer, in den man
- Den Nenner größer macht
- Den Zähler kleiner macht
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteinmal, wie kann man rechnerisch belegen, dass

?

n² auf die andere Seite multiplizieren? Oder einfach gucken, wo der größere Nenner ist?
Also bei n^3
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man schon mehr Erfahrung hat, weißt man nicht mehr jeden Schritt nach, der einem sowieso schon klar ist.

Deine Kritik ist aber natürlich berechtigt und es ist am Anfang auch wichtig, jeden Schritt zu hinterfragen



Und die letzte Behauptung ist ja klar

Beim anderen Schritt hab ich einfach n weggekürzt
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau sehr gut. Das meinte ich mit dem rüberziehen.

Würde es eigentlich funktionieren, das Quotienten-Kriterium hier anzuwenden?
Oder ist das Majoranten Kriterium dafür besser geeignet?
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Quotientenkriterium wirst du bei der Reihe nicht glücklich werden

Es wäre auf jeden Fall ein Wahnsinnsterm, wahrscheinlich kommt man nicht mal ans Ziel
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, dann gehen wir es jetzt mal an:




Ich versuche nur gerade deinen Tipp einzubauen "Reihen größer machen, indem man den Zähler größer oder den Nenner kleiner macht"
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt es zu zeigen

Aber ein paar Zwischenschritte wären angebracht Big Laugh
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hänge bei

Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Wunder, das kann auch gar nicht mehr stimmen
Streich erstmal die -2 aus dem Zähler, danach kannst du dich um den Nenner kümmern
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, tut mir leid. Totale Blockade gerade.
Andrade Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir noch den Weg zeigen?
Das wäre super.
Marko86 Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg
Hallo, Andrade,

um das Majorantenkriterium anwenden zu können, musst Du eine konvergente Majorante zu finden, also eine Folge mit , sodass konvergiert.

Soweit klar?

Dafür genügt es zu zeigen, dass diese Folge die Folge dominiert, dass also gilt (vereinfacht ausgedrückt): .

Wie zeigt man nun, dass dies gilt? Man muss den Bruch nach oben abschätzen, also eine Ungleichungskette der Form bilden. Bis hierher klar?

Wie schätzt man nun einen Bruch nach oben ab? Wie Kimi_R bereits geschrieben hat, tut man das, indem man den Zähler des Bruchs vergrößert (dadurch wird der gesamte Bruch größer) oder den Nenner des Bruchs verkleinert (dadurch wird ebenfalls der gesamte Bruch größer).

Deine Aufgabe ist also nun, den Zähler von zu vergrößern und seinen Nenner zu verkleinern, sodass am Ende der Ungleichungskette eine Folge steht (z.B. oder ), deren Summe konvergiert.

Viel Erfolg!
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