Verschoben! Bevölkerungswachstum

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30.03.2011, 17:56	talida	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevölkerungswachstum Meine Frage: Es gibt optimistische Schätzungen, die davon ausgehen, dass die Erde mehr als 100 Milliarden Menschen ernähren kann. Die meisten Schätzungen gehen aber davon aus, dass die Obergrenze zwischen 8 und 12 Milliarden liegt. 1999 betrug die Erdbevölkerung 6, 0 Mrd. Bewohner. Die beiden Tabellen geben einige Wachstumsraten aus dem Jahre 1998 an (siehe bild). a)Berechne die Verdopplungszeit der Bevölkerung von Gaza. (lsg. 15,41 J.) b)ˆWann hat sich die Bevölkerung Lettlands halbiert? (lsg 98,67 J.) c)Wann ist die Bevölkerungszahl Lettlands auf 10% gegenüber dem heutigen Stand geschrumpft? (lsg. 327, 79 J.) d)Bestimme die Zerfallskonstante für Deutschland und stelle das Zerfallssgesetz auf! (lsg. lambda= 0,001001...) e) Berechne die Bevölkerungszahl von Deutschland für die Jahre 2010,2030 und 2050. Meine Ideen: also ich habe angenommen, dass die "jährliche Bevölkerungszunahme in %" gleich der Wachstumskonstante ist a) 2 * N(0) = N (0) * e^(0.046 t) ergibt für t= ca. 15,07 Jahre. es müssen aber ca. 15,41 Jahre rauskommen. b und c habe ich mit der gleichen annahme ausgerechnet, wobei immer eine geringe abweichung vom richtigen ergebnis da war. bei d) ist mir dann letztendlich aufgefallen, dass diese zahlen nicht die zerfalls- oder wachstumskonstante darstellen. was dann?
30.03.2011, 22:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich sind die Zahlen zwar ähnlich, aber wie du richtig vermutet hast, stimmen sie nicht. Den Zusammenhang zwischen dem prozentualen Faktor und der Wachstumskonstanten zeige ich dir mal an Hand des Beispieles eines jährlichen Wachstums um 5%: Dabei bilden die Bestandswerte [N(0) = 1] die geometrische Folge $\begin{eqnarray} 1, \ 1.05, \ 1.05^2, \ ...., \ 1.05^{t}, \ .... \end{eqnarray}$ Das bedeutet, dass die Bestandszahlen von Jahr zu Jahr mit 1,05 zu multiplizieren sind, weil sie eben pro Jahr um 5% steigen. Den Faktor 1.05 können wir nun wieder in eine Potenz der Basis e umrechnen: $\begin{eqnarray} 1.05 = e^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k = \ln 1.05 = 0,04879 \end{eqnarray}$ Siehst du den feinen Unterschied? _______________________________ Conclusio: Einem Wachstumsfaktor von p% entspricht eine Wachstumskonstante von $\begin{eqnarray} \ln (1 + \frac p {100}) \end{eqnarray}$ . mY+
31.03.2011, 13:06	talida	Auf diesen Beitrag antworten »
ok verstanden. problem nr. 2 es kommt bei mir -15,41 J. raus, wenn ich ln(0,5)/ln(1,046) tippe. muss ich irgendwo noch ein minus hinzugeben?
31.03.2011, 14:15	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ln(0.5) ? Du hast grundsätzlich richtig begonnen: $\begin{eqnarray} 2 \cdot N_0=N_0 \cdot e^{k\cdot t},\quad \quad k = \ln1.046 \end{eqnarray}$ Jetzt löse auf.
31.03.2011, 14:56	talida	Auf diesen Beitrag antworten »
aja, danke, stimmt schon, ich habe das bsp a mit bsp b vermischt. jetzt kommt das richtige raus. bsp b) 1/2 * N(0) = N (0) * e^ (-ln (1,007)*t) t= ln(0,5)/ -ln(1,007)=99,37 Jahre warum stimmt das jetzt nicht?
31.03.2011, 20:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz klar, dass das nicht stimmen kann! Da sich in Lettland die Bevölkerungszahl pro Jahr um 0,7% vermindert, ist k NICHT mit ln (1.007) in Rechnung zu stellen, sondern mit ln (0.993), denn in diesem Fall handelt es sich um einen degressiven Funktionsverlauf. mY+
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01.04.2011, 13:25	talida	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, jetzt wird mir manches klarer...jetzt kommt überall das richtige raus. allerdings, weiß ich nicht, wie ich N(2010), N(2030) und N(2050) berechnen soll, wo ich ja N(0) nicht gegeben habe...
01.04.2011, 18:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benötigst selbstverständlich die Angabe des Bevölkerungsstandes von Deutschland im Jahre 1999. Andernfalls kannst du aber Prozentzahlen angeben (relativer Anfangsbestand = 1 oder 100) mY+
01.04.2011, 19:53	talida	Auf diesen Beitrag antworten »
aha ok. dann ist ja alles geklärt. danke sehr!

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