Nicht-Differenzierbarkeit

30.03.2011, 23:51

Leo1234

Nicht-Differenzierbarkeit

Guten Abend miteinander!

Ich hab' ne Frage hierzu:
$\begin{eqnarray*} f(x, y, z) = \frac{3x y z}{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$ , falls (x,y,z) != (0,0,0)
f(x,y,z) = 0, sonst.

Ich weiss, dass f NICHT differenzierbar in 0 ist.

Wieso aber? Die partiellen Ableitungen sind alle stetig und existieren.
Als Beispiel sei hier die part. Ableitung nach x erwähnt:
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = \frac{3yz(-x^2+y^2+z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2} \end{eqnarray*}$

Was muss zusätzlich noch gelten, damit Differenzierbarkeit in 0 herrscht? (oder eben nicht)

Liebe Grüsse,
Leo

31.03.2011, 00:05

lgrizu

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RE: Nicht-Differenzierbarkeit
Der Grenzwert des Differentialquotienten sollte dir Aufschluss darüber geben, ob die Funtkion in (0,0,0) differenzierbar ist oder nicht.

31.03.2011, 00:39

gonnabphd

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Zitat:

Die partiellen Ableitungen sind alle stetig und existieren.

Bist du dir da sicher? Etwa auch in (0,0,0)?

Du hast Recht, dass die Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen implizieren würde, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} C^1 \end{eqnarray*}$ ist.

Wink

31.03.2011, 00:41

Dopap

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@lgrizu:
darf man das so interpretieren, dass jede "Richtungsableitung" in (0,0,0), per Differentialquotient ermittelt, denselben Grenzwert hat.
d.h. die Gleichheit der 3 Richtungsableitungen aus X- Y- und Z Richtung per partieller Ableitung oder als Limes eines Differentialquotient ermittelt, genügt nicht.?

31.03.2011, 00:58

Leo1234

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RE: Nicht-Differenzierbarkeit
Okey..ich krieg dann also sowas wie:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)-Lh}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{3h_1 h_2 h_3}{h_1^2+h_2^2+h_3^2}}{h} \end{eqnarray*}$
Und das sollte dann = 0 sein.

Allerdings bin ich nicht sicher, ob das h im Nenner so korrekt ist.

@gonnabphd
Das Problem ist, dass die Ableitung in (0,0,0) nicht existiert. (Man müsste durch 0 teilen, was man nicht darf / kann / soll.)
Kann man also davon ausgehen, dass - in einem solchen Fall - die Funktion in 0 nicht differenzierbar ist?

31.03.2011, 01:08

gonnabphd

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Aus "alle partiellen Ableitungen existieren und sind stetig" folgt "die Funktion ist stetig differenzierbar", woraus folgt "die Funktion ist in 0 diffbar".

Das Gegenteil stimmt nicht, also darf man so auch nicht argumentieren. In diesem Fall hier könntest du ja mal überlegen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} v\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(tv) = t f(v) \end{eqnarray*}$

gilt, und wie dann $\begin{eqnarray*} df(0) v = \dots ? \end{eqnarray*}$ gegeben wäre. Ist das möglich? Welche schönen algebraischen Eigenschaften hätte denn so eine mehrdimensionale Ableitung in einem Punkt, wenn man Vektoren reinschiebt?

31.03.2011, 01:32

Dopap

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ich denke mal weiter:
wenn jede Richtungsableitung gleich sein sollte, dann müsste die Unabhängigkeit nachgewiesen werden.
Der Nenner bringt mich auf die Idee Kugelkoordinaten einzuführen.

$\begin{eqnarray*} x=R\cos(\phi)\cos(\lambda)\quad y=R\cos(\phi)\sin(\lambda)\quad z=R\sin(\lambda) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\vec x)=\frac {3R^3cos(\phi)\cos(\lambda)cos(\phi)\sin(\lambda)sin(\lambda)}{R^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\vec 0)=\lim_{R\to 0}\left(\left(\frac{3R^3cos(\phi)^2\cos(\lambda)\sin(\lambda)^2}{R^2}-0\right)/R\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(\vec 0)={3cos(\phi)^2\cos(\lambda)\sin(\lambda)^2} \end{eqnarray*}$

dh. die Ableitung ist z.B für manche Winkel Null für andere eben nicht.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f(x,y,z) nicht differenzierbar in (0,0,0)

Oder ist das alles Murks verwirrt

31.03.2011, 10:41

lgrizu

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@Dopap:

Wenn du mit der Richtungsableitungen die Ableitungen in Richtung der Einheitsvektoren meinst, dann ist das richtig, es ist aber üblicher, das partielle Ableitungen zu nennen.

Und man kann auch den Differentailquotienten in jeder Variabel betrachten, also die Differentialquotienten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x_0,....,x_i+h,....x_n)-f(x_0,.....,x_n)}{h} \end{eqnarray*}$ , wobei i dann 0 bis n durchläuft.

31.03.2011, 12:35

Dopap

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Zitat:

Original von lgrizu
@Dopap:

Wenn du mit der Richtungsableitungen die Ableitungen in Richtung der Einheitsvektoren meinst, dann ist das richtig, es ist aber üblicher, das partielle Ableitungen zu nennen.

nein mein ich nicht. Die partiellen Ableitungen sind spezielle Richtungsableitungen,
nämlich aus den Richtungen der Achsen. Ich meine damit jede Richtung.

Im 2-dimensionalen Fall z.B aus der "Richtung" y=2x.

Im 3-D-Falle z.B. aus der Richtung

$\begin{eqnarray*} \vec x=\mu \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 77 \end{pmatrix} \quad \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Es bleibt also bei: die Existenz und Gleichheit der 3 Limites der Differentialquotienten in jeweils einer Variablen $\begin{eqnarray*} x_i + h \end{eqnarray*}$ genügt nicht für Differenzierbarkeit...(?)

31.03.2011, 13:05

lgrizu

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Es reicht aus, folgende Grenzwerte zu betrachten (also im 3D):

$\begin{eqnarray*} f'_x(\vec{a})=\lim_{h \to 0}\frac{f(a_1+h,a_2,a_3)-f(a_1,a_2,a_3)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_y(\vec{a})=\lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,a_2+h,a_3)-f(a_1,a_2,a_3)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_z(\vec{a})=\lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,a_2,a_3+h)-f(a_1,a_2,a_3)}{h} \end{eqnarray*}$

Also die Richtungsableitungen in Richtung der drei Einheitsvektoren zu betrachten.

31.03.2011, 15:05

Dopap

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ja klar, das genügt Freude

Ich hab irgendwie eine Aufgabe im Kopf gehabt, wo man beim Thema lokale Extrema auch noch alle Richtungsableitungen bestimmen musste. Hammer

demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial x} f(\vec{0})=\lim_{h \to 0}\frac{f(h,0,0)-f(\vec 0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial x} f(\vec{0})=\lim_{h \to 0}\frac{\frac {3h\cdotp 0\cdotp 0}{h^2}-0}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial x} f(\vec{0})=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h} \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

für y und z sinngemäß.

Somit ist f in (0,0,0) nicht differenzierbar.

Wo ist eigentlich Leo1234 geblieben...

01.04.2011, 13:22

Leo1234

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Ich bin hier. smile

Sorry, hatte in den letzen Tagen kein Internet, daher konnte ich an der Diskussion leider nicht teilhaben.
Allerdings klingt es sehr einleuchtend, was ihr da besprochen habt - besten Dank, dass ich von dieser Diskussion profitieren darf!

01.04.2011, 21:00

Leo1234

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Allerdings habe ich noch eine Frage (zur Ableitung allgemein).

Angenommen, man hat (allgemein) sowas:
$\begin{eqnarray*} \frac{\delta^n}{\delta x_1 \delta x_2 ... \delta x_n} ||x||^{2n- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
Kann man das Ergebnis davon allgemein angeben, ohne ein konkretes n zu benutzen?

01.04.2011, 23:35

lgrizu

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Definition der Vektornorm, falls es denn diese sein soll, und Ableitungsregeln für Potenzfunktionen reichen hier aus um die partiellen Ableitungen anzugeben.

02.04.2011, 00:01

Leo1234

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Hmm..aber ist es möglich, das so allgemein zu beschreiben? (wie?)

Ich habe ein Beispiel mit n=2 gemacht.
Hier (gekürzt), was ich gemacht habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{ \delta^2}{\delta x_1 \delta x_2} ||x||^{ \frac{7}{2} } = \frac{21 x_1 (2 x_2)}{8 (x_1^2 + x_2^2)^{ \frac{1}{4} } } \end{eqnarray*}$

..allerdings seh' ich hier keine "Regularität"...

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