Hauptraum

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31.03.2011, 11:26	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptraum Meine Frage: Morgen, bin gerade dabei mein LA-Skript zu durchforsten und mir ist da gleich eine Aufgabe mit Haupträumen ins Auge gestochen... Da ich diese nicht verstanden habe, habe ich im Internet recherchiert: Meine Ideen: Gegeben sei die quadratische Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt das charakteristische Polynom bestimme komme ich auf die Eigenwerte 2 und -2, wobei 2 eine algebraische Vielfalt von 2 hat (2 mal die gleiche Nullstelle) Wenn ich jetzt die Eigenvektoren bestimme, indem ich die Matrix mit Gauß verändere und mit x multipliziert 0 setzte, so komme ich auf: für den Eigenwert 2: (1 0 -2)^T (soll die transponierte Matrix sein) und für -2: (-3 4 2)^T. Normalerweise würde ich das ganze doch jetzt diagonalisieren...Wie genau weis ich nicht, das wäre meine erste Frage!! Doch das geht hier doch nicht, weil die Vielfalt bei 2 nicht die selbe ist, denn da wir nur einen Eigenvektor erhalten haben ist die geometrische Vielfalt gerade mal 1...Wie gehe ich mit diesem Problem um??? Hilfe!!! Danke schonmal!
31.03.2011, 12:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Deine Eigenwerte scheinen falsch zu sein, hab das mal gerade kurz nachgerechnet, ich komme auf das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} -x^3-4x^2 \end{eqnarray}$ . Wenn die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes größer ist, als die geometrische, dann ist die Matrix nicht diagonalisierbar, denn die Aussagen, dass eine nxn Matrix diagonalisierbar ist, und dass sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat, sind äquivalent.
31.03.2011, 12:18	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum also ich habs nochmal nachgerechnet... und auch die Löung sagt, es ist richtig: (Wikipedia Eigenwertproblem) Wenn ich hier jetzt diagonalisieren dürfte, wie würde die Matrix denn dan aussehen? Und da ich es ja nicht darf, wie kann ich denn jetzt den Hauptraum bestimmen?
31.03.2011, 12:56	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Es tut mir wirklich leid, aber es ist falsch, die Eigenwerte der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sind nicht 2 und -2, die Matrix, die bei Wiki als Beispiel dient ist auch nicht die von dir angeführte Matrix. Wir rechnen aus: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}-2-x & 2 & -1 \\ 2 & -3-x & 1 \\ 2 & -1 & 1-x \end{vmatrix}=(-2-x)(-3-x)(1-x)+6+2(-3-x)+(-2-x)-4(1-x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(6+2x+3x+x^2)(1-x)+6-6-2x-2-x-4+4x=-x^3-4x^2 \end{eqnarray}$ . Auch wenn wir in obige Matrix x=-2 einsetzen erhalten wir: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bringen wir diese Matrix auf Zeilenstufenform so erhalten wir die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \vec{x}=\vec{0} \end{eqnarray}$ hat nur die triviale Lösung.
31.03.2011, 13:50	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Stimmt, du hast recht... Hab mich vertan... Die Matrix, die isch oben angegeben hab is schon die Matrix A-2Eiheitsmatrix A wäre dann in meinem Fall: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Sry, war mein Fehler... Angenommen das wäre meine Matrix A, dann hät ich aber die Eigenwerte 2 und -2 und die Eigenvektoren: (1 0 -2)^T und (-3 4 2)^T Ich glaub jetzt stimmts^^ Und hier dürft ich jetzt auch nicht diagonalisieren... Kannst du mir vll jetzt helfen, wie ich auf den Hauptraum komm? Danke
31.03.2011, 13:51	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Ich steh total aufm Schlauch....
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31.03.2011, 14:04	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Okay, jetzt passen die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu der Matrix. Du hast keinen Grund, zu pushen.... Du hast doch nun die Eigenvektoren bestimmt, der Eigenraum ist der Raum, der von den Eigenvektoren aufgespannt wird.
31.03.2011, 14:18	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Ist der Eigenraum das gleiche wie der Hauptraum? Das heißt ich kann zur Bestimmung des Eigenraums, die Vektoren einfach aneinanderreihen? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das mein Hauptraum?
31.03.2011, 14:37	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Nein, das ist nicht das gleiche, der Hauptraum ist vielmehr eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Nun haben wir den Eigenraum bestimmt, gehen wir über zum Hauptraum: Nun bestimmen wir zuerst die Eigenwerte, deren algebraische Vielfachheit ungleich ihrer geometrischen Vielfachheit ist, welcher ist das? Darf ich auch noch fragen, was du dann machen möchtest? Möchtest du eine Jordan Zerlegung durchführen? Oder sollst du einfach so den Hauptraum bestimmen?
31.03.2011, 14:41	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Der Eigenwert, den wir vorhin bestimmt haben, welcher eine andere algebraische als geometrische Vielfältigkeit hatte war 2... Oder muss ich jetzt von der neuen Matrix wieder den den Eigenwert bestimmen? Nene, ich möchte keine Jordan Zerlegung durchführen, will einfach nur den Hauptraum bestimmen, hab sowas aber noch nie gemacht...und mein Buch hilft mir auch nich wirklich dabei
31.03.2011, 14:46	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Okay, wir haben also einen Eigenvektor mit der Vielfachheit 2. Nun berechne $\begin{eqnarray} Kern(A-xI)^2 \end{eqnarray}$ . Welche Dimension hat dieser Raum?
31.03.2011, 15:03	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Diese Hoch 2 kommt daher, da 1*2=2, weil einmal die Vielfalt 1 ist und einmal 2? Um ehrlich zu seine, diese Formel steht auch in meinem Skript, aber ich kann einfach rein gar nichts damit anfangen...Dieses I, für was steht dies? Für Identität, Invarianz? Und was muss ich dafür einsetzen? Sry, aber das ist für mich grad wie chinesisch^^
31.03.2011, 15:06	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Das I ist die Einheitsmatrix. Du bestimmst nun zuerst die Dimension von $\begin{eqnarray} (A-2I)^2x=0 \end{eqnarray}$ , die Vielfachheit von 2 ist 2, der Eigenraum zu dem Eigenwert 2 hat aber nur die Diemnsion 1, also schauen wir einmal nach, welche dimension der Lösungsraum $\begin{eqnarray} (A-2I)^2 \cdot x=0 \end{eqnarray}$ hat, vielleicht hat er ja die Dimension 2, dann können wir eine Basis zu unserem Hauptraum finden. Edit: Ich hab in meinem obigen Beitrag etwas editiert, da es nicht wirklich genau gewesen ist und ich es im Nachhinein für sinnvoller hielt, kleinere Schritte zu gehen. Edit2: Ich muss jetzt auch gleich noch nen bisschen was tun, bin also nicht mehr sooo lange online.
31.03.2011, 15:30	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Okay, ich nehme als mein A vom Anfang... Also ich hab jetzt A-2* der Einheitsmatrix gerechnet und das ganze 0 gesetzt: Dann hab ich für für x1= 0,5 , x2= 0 und x3= -2 Ist das richtig und wie mache ich weiter?
31.03.2011, 15:33	gretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Achja, ich muss ja die Demension bestimmen, da ist das gleiche wie der Rang oder? Das wäre demnach die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren einer Basis?
31.03.2011, 15:46	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptraum Eins nach dem anderen, es ist schon richtig, du musst das LGS $\begin{eqnarray} (A-2 \cdot I)^2 \cdot \vec{x}=0 \end{eqnarray}$ lösen und die Dimension des Lösungsraumes bestimmen. Du hast die Matrix $\begin{eqnarray} (A-2I) \end{eqnarray}$ doch schon ausgerechnet, nun multipliziere sie einmal mit sich selbst und bringe das ganze auf Zeilenstufenform. Was erhälst du, wie schaut die Matrix dann aus?

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