lokale änderungsrate mit 1/x

31.03.2011, 12:34

mirchen

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lokale änderungsrate mit 1/x

Meine Frage:
Hallo ich habe ein kleines Prblem:
Meine Aufgabe laute: Berechne die lokale Änderungsrate mit f(x)=1/x und x0=1

Mein Ansatz dazu ist: lim= 1/x-1 : x-1 (bitte den Bruchstrich denken)

Meine Ideen:
ich habe es schon mit Polinomdivision versucht, komme da aber auch nicht weite, weil es bei mir schon daran hapert 1/x : x zu rechen, denn auf dem Rückweg komme ich nicht mehr auf 1/x.
was kann ich also tun?

vielen dank

31.03.2011, 12:38

Iorek

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x

Zitat:

Original von mirchen
Mein Ansatz dazu ist: lim= 1/x-1 : x-1 (bitte den Bruchstrich denken)

Wie wäre es, wenn du das stattdessen ordentlich aufschreibst? Idee!

Idee!

Wie kann man Formeln schreiben?, oder zur Not wenn schon Klammern setzen.

31.03.2011, 13:00

mirchen

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x = \frac{\frac{1}{x} }{x-1} \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:01

mirchen

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x
ok ich komme damit noc nicht so ganz zurecht
ich versuchs noch mal

31.03.2011, 13:06

Iorek

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Du musst noch Latex-Tags setzen.

code:
1:	[latex]Formel[/latex]

Ich hab es oben korrigiert.

Du hast die Formel falsch angewendet, wieso hast du $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} x \end{eqnarray*}$ da stehen? Das gehört da nicht hin.

Du willst $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ verwenden, da solltest du erstmal das was du gegeben hast einsetzen.

31.03.2011, 13:13

mirchen

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x
das ist ja schon eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x denn \end{eqnarray*}$ x_{0}= 1

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31.03.2011, 13:15

mirchen

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x
$\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x = \frac{1}{x} - 1 : x -1 \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:19

Iorek

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Nochmal: wieso steht da $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} x \end{eqnarray*}$ ? Und wo verschwindet der Limes nach dem Gleichheitszeichen hin?

Auch ist der Term auf der rechten Seite wieder aufgrund fehlender Klammersetzung falsch.

Damit wir mal was weiterkommen: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} \frac {\frac 1x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ , das ist der richtige Ausdruck. Den müssten wir jetzt so umformen, dass wir im Nenner etwas kürzen können.

31.03.2011, 13:20

mirchen

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RE: lokale änderungsrate mit 1/x
ja genau das ist es so muss das da stehen

31.03.2011, 13:24

mirchen

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kann ich da irgendwie mit dem kehrwert was mal nehmen? das wäre so mein nähster ansatz gewesen, aber da komm ich auch nicht weiter und mit polinomdivision komme ich auf dem rückweg nicht mehr auf [latex] \frac{1}{x}

31.03.2011, 13:24

mirchen

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:27

Iorek

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Der Kehrwert kommt gleich dazu, ja. Eine Polynomdivision ist aber nicht notwendig.

Fasse zuerst mal den Zähler zusammen, dann entsteht ein Doppelbruch. smile

smile

31.03.2011, 13:34

mirchen

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gut ich käme dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1} \end{eqnarray*}$

der kehrwert wäre dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1} \cdot \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:35

mirchen

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ach ne es wäre doch dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:36

Iorek

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Wie kommst du denn jetzt dahin? geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 1} \frac{\frac 1x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ , rechne hier doch erstmal den Zähler aus und fasse zusammen, danach kann man weitergucken ob man mit dem Kehrwert arbeiten kann.

31.03.2011, 13:36

mirchen

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das kann aber nicht sein, dann komme ich ja im nenner auf x² und das wäre doch falsch oder?

31.03.2011, 13:38

Iorek

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Im Nenner steht am Ende durchaus ein x², aber deine Rechnung ist falsch.

31.03.2011, 13:43

mirchen

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ok ich hab gemerkt ich kann mit das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ mit der Reziproke umändern dann habe ich - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$

dann könnte ich doch ausklamern oder?

31.03.2011, 13:46

Iorek

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Ich kann dir nicht ganz folgen, was hast du jetzt umgeformt, welche Rechenschritte hast du vorgenommen? Was willst du wann ausklammern?

31.03.2011, 13:49

mirchen

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na ich hab die Reziproke genommen.
aber ich glaube jetzt das ist nicht ganz richtig. das gehört ja zum Thema ableitungen und ich weiß nicht ob ich das auch dann hier verwenden kann.

31.03.2011, 13:51

Iorek

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Das Reziproke von was?

Schreibe doch bitte deinen Weg dazu, ich kann nicht hellsehen was genau du gerechnet und umgeformt hast.

Hast du mal den Zähler zusammengefasst? Damit kommst du nämlich sehr schnell an das richtige Ergebnis.

31.03.2011, 13:56

mirchen

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na gut ich hätte noch einen Ansatz
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

ich hab erst mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gerechnet. da komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$ und dann habe ich ja noch die - 1 vom nenner und die -1 vom zähler ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 13:57

Iorek

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Zitat:

Original von mirchen
na gut ich hätte noch einen Ansatz
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Dann noch einmal, wie kommst du auf diesen Term?

31.03.2011, 14:21

mirchen

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na gut auf ein neues:

der Ausgang war: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} x \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x} -1}{x-1} \end{eqnarray*}$

dann habe ich es in zwei Brüche aufgeteilt
1. Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} : \frac{x}{1} \end{eqnarray*}$

dann mit dem Kehrwert mal genommen ergibt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$

und dann bleibt ja nur noch - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$ übrig

31.03.2011, 14:24

Iorek

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Dann würde ich gerne wissen, wie du das in diesen Bruch aufteilst.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1x-1}{x-1}=\frac{\frac 1x}{x-1}-\frac 1{x-1} \end{eqnarray*}$ , aber die Aufteilung von dir kann ich nicht nachvollziehen.

Ein drittes Mal der Tipp: Fasse bei $\begin{eqnarray*} \frac{\frac 1x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ den Zähler zusammen.

31.03.2011, 14:37

mirchen

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na gut, viellicht so: ich stelle mir auch die -1 als Bruch vor das wären dann - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$
dann mit x erweitern ergibt - $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$
und dann von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ abziehen

und denn hakts. wie gehts dann weiter. ich kann doch nicht einfach 1-x rechnen das geht doch so gar nicht, da ich nicht weiß was x eigentlich ist

31.03.2011, 14:39

Iorek

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Natürlich kannst du das machen, und es ist auch der richtige Weg: $\begin{eqnarray*} \frac 1x-1=\frac 1x-\frac xx=\frac{1-x}{x} \end{eqnarray*}$ .

Dadurch hast du jetzt einen Doppelbruch und kannst jetzt mit dem Kehrwert arbeiten.

31.03.2011, 14:43

mirchen

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so denn käme ich zum schluss als endergebnis auf - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
ist das korrekt?

31.03.2011, 14:46

Iorek

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Das stimmt jetzt. smile

smile

Jetzt kannst du den Limes anwenden für $\begin{eqnarray*} x\to 1 \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 14:47

mirchen

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oh man das war vielleicht eine geburt.
aber vielen vielen dank für die hilfe und für die geduld.

ich war bestimmt nicht ganz einfach smile

smile

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