Zeilenvektor - Spaltenverktor |
| 03.12.2006, 22:51 | jörg123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Zeilenvektor - Spaltenverktor die Vektoren sind aus dem ich soll jetzt eine basis des unterraums V = span(v_1,v_2,v_3,v_4) also habe ich auf die vektoren auf lineare unabhängigkeit geprüft. hab das so gemacht das ich die vektoren, wie gegeben als spaltenvektoren, in eine matrix geschrieben habe. habe dann zeilenoperationen durchgeführt. dabei waren 2 linear abh. aber eigentlich ist es doch besser wenn ich die vektoren als zeilenvektoren schreibe und dann zeilenoperationen durchführe. dann sehe ich doch auch direkt wie die linear kombiniert sind. (hier wäre v_4= 3*v_1 - v_2 und v_3= -5*v_2 + 6*v_1) also beides geht ja offensichtlich.... wo ist denn eigentlich der unterschied bzw. der zusammenhang wenn ich vektoren einmal als zeilenvektoren oder als spaltenverktoren auffasse bzw. mit zeilenvektoren spaltenoperationen oder mit spaltenvektoren zeilenoperationen durchführe? der rang der matrix verändert sich damit doch nicht.... |
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| 03.12.2006, 23:35 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Zeilenvektor - Spaltenverktor na ja, der Unterschied besteht darin: Bei der Gauss-Elimination bildest du linear-Kombinationen der Zeilen einer Matrix , deren Spalten deine Spaltenvektoren v1, ... , v4. Dabei verändert sich der Zeilenraum der Matrix nicht, der Spaltenraum ändert sich dabei aber in der Regel. Dh. der Spaltenraum der Matrix, die du am Ende der Gausselimination erhältst ist nicht derselbe wie der der ursprünglichen Matrix. Wenn du die Matrix transponierst (so hab ich dich verstanden) und die Gauss-Elimination durchführst verändert sich also der Zeilenraum deiner ursprünglich gegebenen Matrix. Wenn du nur eine Basis für einen Unterraum bestimmen willst ist das egal, du nimmst einfach die Pivotspalten, bzw. Pivotzeilen, die stimmen überein, egal ob du die ursprüngliche oder die transponierte Matrix nimmst. Wenn du aber ein konkretes LGS lösen sollst, löst du damit sozusagen ein falsches LGS. |
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| 04.12.2006, 00:25 | jörg123 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja, mit dem LGS macht sinn. hat ich noch nicht drüber nachgedacht. aber das meinte ich ja auch nicht. naja ich bin mir da unsicher weil es nirgens expliziet steht. ist es wirklich egal ob ich vektoren als spalten- oder zeilenvektoren in eine matrix schreibe. und ist es dann auch egal welche operationen ich dann auf sie anwende? |
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| 04.12.2006, 00:40 | ArminTempsarian | Auf diesen Beitrag antworten » |
wie gesagt, es macht tatsächlich einen Unterschied. Das mit dem LGS war nur als Veranschaulichung gedacht. Gauss-Elimination bedeutet Zeilenoperationen durchführen, heißt nichts anderes als Linearkombinationen der Zeilen zu bilden. Wie gesagt verändert sich dabei der Zeilenraum nicht. Der Spaltenraum aber schon. Wenn du eine Matrix mittels Gauss also auf Zeilenstufenform bringst, müssen der Spaltenraum von A nicht mit dem Spaltenraum von A nach Gauss übereinstimmen. Falls A z.B singulär, also nicht invertierbar ist, ist die letzte Zeile eine Nullzeile, der Spaltenraum, besteht also aus Spaltenvektoren deren letzte Komponente Null ist. Das muss aber nicht für die ursprüngliche Matrix A gelten. Sei AT die transponierte Matrix A. Genau wie vorhin bringst du die Matrix in Zeilenstufenform und wirst finden, dass die letzte Zeile eine Nullzeile ist, der Spaltenraum von AT nach Gauss besteht also aus Spaltenvektoren, deren letzte Komponente eine Null ist. Der Spaltenraum von AT (= der Zeilenraum von A) hat sich aber durch Gauss verändert, d.h. eine Basis des Spaltenraums von AT nach Gauss muss nicht unbedint eine Basis des Zeilenraums von A sein. |
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