Gegenbeispiel zum Schwarz'schen Vertauschungssatz

31.03.2011, 14:15

HansimGlück

Gegenbeispiel zum Schwarz'schen Vertauschungssatz

Sei

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\left\{ \begin{pmatrix} xy*(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}) fuer (x,y)\neq (0,0) \\ 0 fuer (x,y) = (0,0)\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie (Differentialquotient anwenden):

i) $\begin{eqnarray*} f_{x} (0,y)=-y \end{eqnarray*}$ für alle y und $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=-1 \end{eqnarray*}$

ii) $\begin{eqnarray*} f_{y} (x,0)=x \end{eqnarray*}$ für alle x und $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0)=1 \end{eqnarray*}$

Differentialquotient sieht ja so aus (H-Methode ist mir lieber...):
$\begin{eqnarray*} f'(x_{0})=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \end{eqnarray*}$

Mir ist leider unklar, wie ich den Differentialquotienten auf i) und ii) anwende...

Vll, kann mir jemand beim Ansatz helfen.

Danke!

01.04.2011, 21:25

HansimGlück

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Darf man "pushen"? smile

01.04.2011, 21:39

BanachraumK_5

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Zitat:

Darf man "pushen"? smile

Ja, aber man bekommt Ärger wenn man es zu früh macht.. ;-)

Zitat:

Differentialquotient sieht ja so aus (H-Methode ist mir lieber...): $\begin{eqnarray*} f'(x_{0})=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \end{eqnarray*}$

Ja für eine Dimension?! Diese Formel ist für den Zwecke den du verfolgst nicht brauchbar.

Siehe hier http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Ableitung

Und mach dir auch mal klar was der Unterschied zwischen einer mehrdimensionalen Funktion und einer "eindimensionalen" Funktion ist und was das für das Differential bedeutet?

01.04.2011, 23:17

HansimGlück

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Na dann hoffe ich mal, dass mein "Push" nicht zu früh war, war ja schon auf Seite 2 der Thread .. Big Laugh

Unterschied ist, dass der Funktionswert bei eindimensionalen Funktion lediglich von einem Inputfaktor abhängt, bei mehrdimensionalen von mehreren Inputfaktoren?

Differentialquotient für Differenzierung nach x:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f_x = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \end{eqnarray*}$

und nach y:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = f_y = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} \end{eqnarray*}$

02.04.2011, 00:38

HansimGlück

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i) $\begin{eqnarray*} f_{x} (0,y)=-y \end{eqnarray*}$ für alle y und $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{x} (0,y)=-y \end{eqnarray*}$ Ok, das ist auch mein Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=-1 \end{eqnarray*}$ Hier versteh ich nicht, was zu tun ist.

Ich habe die Ableitung nach x und y. Wie bringe ich diese beiden Ableitungen im Zusammenhang um auf -1 zu kommen?

02.04.2011, 15:05

metriod

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03.04.2011, 00:28

HansimGlück

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Mittlerweile weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ , die gemischte Ableitung ist ! Augenzwinkern

So, nun habe ich versucht
$\begin{eqnarray*} f_{x} (0,y)=-y \end{eqnarray*}$ mittels Differentialquotienten auszurechnen, komme bei meinen Versuchen aber nicht auf das gesuchte Ergebnis.

Hier mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{ \frac{((x+h)*y)*((x+h)^2-y^2)}{(x+h)^2+y^2)} - \frac{(x*y)*(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)} }{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{ \frac{(x+h)^2-y^2)}{(x+h)+y)} - \frac{(x^2-y^2)}{(x+y)} }{0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{ \frac{(x^2+2hx+h^2-y^2)-(x^2-y^2)*h}{x+h+y} }{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x^2+2hx+h^2-y^2)-(x^2-y^2)*h}{h*(x+h+y)} \end{eqnarray*}$ SIEHE SPÄTER HIERZU

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x^2+h*(2x+h)-y^2)-(x^2-y^2)*h}{h*(x+h+y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{(x^2+1*(2x+h)-y^2)-(x^2-y^2)*h}{1*(x+h+y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2+1*(2x+0)-y^2)-(x^2-y^2)*0}{1*(x+0+y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^2+(2x)-y^2)-(x^2-y^2)*0}{(x+y)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+2x-y^2}{x+y} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun x=0 setze, erhalte ich -y.

Stimmt das?

Frage:
a) (SIEHE SPÄTER HIERZU): Wenn ich hier das h aus dem Nenner mit den h aus $\begin{eqnarray*} (x^2-y^2)*h \end{eqnarray*}$ gekürzt hätte, dann hätte ich als Ergebnis \frac{0}{y} erhalten ???

03.04.2011, 01:39

Forgetto

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Wenn du bereits am Anfang x=0 setzt wird die Rechnung gleich viel einfacher
$\begin{eqnarray*} f_{x}(0,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h,y)-f(0,y)}{h}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{h(h^{2}y-y^{3}) }{h(h²+y²)}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{h \to 0} \frac{h²y-y^{3} }{h²+y²}= \frac{-y³}{y²}=-y \end{eqnarray*}$
Das Gleiche machst du Analog für $\begin{eqnarray*} f_{y}(x,0) \end{eqnarray*}$ und danach für die Ableitungen 2. Ordnung, wobei ich für $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0)= -1 \end{eqnarray*}$ als Ergebnis bekomme und für $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=1 \end{eqnarray*}$ , sprich entweder ist die Angabe falsch oder ich habe mit irgendwo mit einem Vorzeichen vertan Big Laugh

03.04.2011, 17:28

HansimGlück

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Ist es wirklich erlaubt, tatsächlich schon am Anfang x=0 zu setzen?

Ich denke auch, dass die Angabe falsch ist und als Ergebnis $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0)= -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=1 \end{eqnarray*}$ rauskommt.

05.04.2011, 08:11

tut0r

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natürlic darfst du x=0 einsetzen von anfang an, du willst ja die ableitung an der Stelle (0,y) ausrechnen.
lg

05.04.2011, 12:01

HansimGlück

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OK, macht die ganze Sache viel einfacher Augenzwinkern

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