Reihen: Wert so richtig?

31.03.2011, 16:26	Soundingenieur	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen: Wert so richtig? Hi: Also Aufgabe war den Wert von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{31^n (n+1)^2}{2^{5n}} \end{eqnarray}$ zu berechnen: Ich bin so vorgegangen: Die Reihe oben ist das selbe wie: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{31}{2^5})^n (n+1)^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{31}{2^5} = x < 1 \end{eqnarray}$ Also geometrische Reihe. Dies lässt sich durch Indexverschiebung umschreiben zu: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n-1} n^2 \end{eqnarray}$ Es ist bekannt, dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ Und da die Summe der Ableitungen gleich der Ableitung der Summe ist gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ und somit gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n-1} n^2 = \frac{d}{dx} \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3} \end{eqnarray}$ Da das erste Glied 0 ist, ist dies genau die zu untersuchende Reihe. Und dann eben noch x einsetzen. Stimmt das so, oder hab ich irgendwo nen fehler eingebaut?
31.03.2011, 16:34	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Indexverschiebung passt nicht
31.03.2011, 16:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
@Soundingenieur Fast richtig, aber es ist ja nach Indexverschiedbung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{31^n (n+1)^2}{2^{5n}} = \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{31^{n-1} n^2}{2^{5(n-1)}} \end{eqnarray}$ , d.h., du solltest neben dem sowieso wegfallenden Glied für n=0 auch das für n=1 (was ungleich Null ist!) subtrahieren.
31.03.2011, 16:40	Soundingenieur	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ich sehe es. Ich hab in die "falsche Richtung" verschoben. Dann muss ich ja nur das erste Glied ausrechnen und vom Gesamtwert wieder abziehen oder? Edit: Stand ja schon da. Sry René. Danke für die schnelle Hilfe.
31.03.2011, 16:47	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{31}{2^{5}})^{n} (n+1)^{2} = \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{31}{2^{5}})^{n+1} (n+2)^{2} \end{eqnarray}$ Solltest nochmal von hier an weiterrechnen. Da führt wohl kein Weg dran vorbei

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