Grenzwert von Folgen

31.03.2011, 17:48

Kuku

Grenzwert von Folgen

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe zwei Aufgaben, bei denen ich nicht mehr weiterkomme, obwohl ich mich ausgiebig mit dem Thema Folgen und deren Grenzwerte auseinandergesetzt habe. Könntet ihr mir erklären, wie ich diese Aufgabentypen am besten angehe und mir bei der Lösung helfen??

Aufgabe 1
Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n} + b^{n} } = max\left\{ a,b\right\} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2
Es sei $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right) _{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R _{\geq 0} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_{1} := \sqrt{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n + 1} := \sqrt{6a_{n} + 7} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Man zeige:

a) $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq 7 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \left(a_{n} \right)_{n \in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 7.

Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet, ich weis wirklich nicht mehr weiter!!
Danke

Meine Ideen:
Bei der ersten Aufgabe bin ich vollkommen überfordert, ich habe nicht die leiseste Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehe.
Bei der zweiten Aufgabe vermute ich, dass das ganze durch vollständige Induktion gelöst werden kann. Auch wenn ich prinzipiell weis, wie man durch vollständige Induktion Beweise durchführt, weis ich nicht, wie man das hier anwendet.

31.03.2011, 17:57

tmo

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Die erste Aufgabe macht so keinen Sinn, es sollte $\begin{eqnarray*} a,b \geq 0 \end{eqnarray*}$ gefordert werden.

Wenn dies der Fall ist, dann würde ich einfach mal ein Sandwich basteln. o.B.d.A kannst du dann natürlich annehmen, dass $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ gilt, also ist zu zeigen, dass die Folge gegen a konvergiert.

31.03.2011, 19:10

Kimi_R

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Bei der ersten Aufgabe muss ich mich erstmal länger damit beschäftigen, bei der Aufgabe 2a) ist es aber relativ einfach

Induktionsanfang: n = 1
$\begin{eqnarray*} a_{1} = \sqrt{7} \leq 7 \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss: n -> n+1

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq 7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{6*a_{n}+7} \leq \sqrt{6*7+7} = \sqrt{49} = 7 \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung ging durch die Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq 7 \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel ein

Bei der b) muss man zeigen: Monoton wachsend, nach oben beschränkt (Aufgabenteil a), also konvergenz miit dem Grenzwert

31.03.2011, 21:57

Kuku

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Vielen Dank erst einmal für die schnellen Antworten!
Bei Aufgabe 1 habe ich tatsächlich vergessen zu schreiben, dass $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R _{\geq 0} \end{eqnarray*}$ gilt. Mit diesen Infos soll der Term gezeigt werden.

Zu Aufgabe 2b)
Wenn ich zeigen soll, dass das ganze monoton wachsend ist, verwende ich die Formel $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und setze dann reele Zahlenwerte für n ein, oder?

31.03.2011, 22:11

Kimi_R

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Dein Ansatz ist richtig, zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ solltest du nun die "Folgenvorschrift" einsetzen, dann steht auf beiden Seiten der Ungleichung ein Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ , also dem Gleichen Index

Da es für alle n gelten soll, kannst du es auch per Induktion probieren. Mir wurde in einem anderen Thread gesagt, ich soll nicht so viel vorrechnen, also probier einfach mal selber aus, welcher Weg dich ans Ziel führt.

Bei beiden Methoden kannst du natürlich auch deine Kenntnisse aus Aufgabenteil a) verwenden

31.03.2011, 22:23

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Kuku
Vielen Dank erst einmal für die schnellen Antworten!
Bei Aufgabe 1 habe ich tatsächlich vergessen zu schreiben, dass $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R _{\geq 0} \end{eqnarray*}$ gilt. Mit diesen Infos soll der Term gezeigt werden.

Nein, einen Term kann man nicht zeigen.
Du sollst den Grenzwert bestimmen und das machst Du am besten mit dem Einschließungskriterium wie tmo schon vorgeschlagen hat.

Dabei solltest Du allerdings auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2}=1 \end{eqnarray*}$ zurückgreifen können.

Zitat:

Original von Kuku
Zu Aufgabe 2b)
Wenn ich zeigen soll, dass das ganze monoton wachsend ist, verwende ich die Formel $\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n + 1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und setze dann reele Zahlenwerte für n ein, oder?

reelle Zahlenwerte für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

Du zeigst zunächst Beschränktheit und Monotonie womit die Konvergenz der Folge und somit die Existenz von $\begin{eqnarray*} a:=\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gesichert ist.
Mit der Rekursionsformel kannst Du den Grenzwert dann berechnen.

01.04.2011, 09:13

Kuku

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Woher weis ich den, dass a $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ b gilt bei der Aufgabe 1? Und wie komme ich denn darauf, dass ich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray*}$ zurückgreifen kann?? Der Schritt ist mir nicht ganz klar...
Zu 2b)
Ich habe das ganze jetzt mit euren Hilfestellungen durchgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n + 1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq \sqrt{6a_{n} + 7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49 \leq 6a_{n} + 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq 6a_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq 7 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: monoton wachsend, konvergiert gegen 7, Grenzwert ist ebenfalls 7.
Ist das richtig?

01.04.2011, 09:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kuku
Woher weis ich den, dass a $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ b gilt bei der Aufgabe 1?

Das kannst du ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen. Ansonsten kannst du auch eine Fallunterscheidung a >= b und b > a machen.

Zitat:

Original von Kuku
Und wie komme ich denn darauf, dass ich auf $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray*}$ zurückgreifen kann?? Der Schritt ist mir nicht ganz klar...

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{a^n + a^n} \end{eqnarray*}$
Klammere jetzt a^n aus.

Zitat:

Original von Kuku
Zu 2b)
Ich habe das ganze jetzt mit euren Hilfestellungen durchgerechnet:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n + 1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq \sqrt{6a_{n} + 7} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 49 \leq 6a_{n} + 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq 6a_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7 \leq 7 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt: monoton wachsend, konvergiert gegen 7, Grenzwert ist ebenfalls 7.
Ist das richtig?

Das ist Unfug. Die Monotonie, die du beweisen sollst, hast du in der Rechnung vorausgesetzt. Du mußt da schon einen ordentlichen Beweis mit vollständiger Induktion machen.

04.04.2011, 13:30

Kuku

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Also, die Tipps zu Aufgabe 2 habe ich jetzt verstanden und konnte sie anwenden; nur mit Aufgabe 1 komme ich trotz eurer Tipps nicht weiter. Ich habe mittlerweile verstanden, dass ich eine Fallunterscheidung durchführen muss.
Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ (Analog dazu dann natürlich Fall 2 mit $\begin{eqnarray*} b \geq a \end{eqnarray*}$ )

Das heißt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{a^n + a^n} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n} + a^{n} } = max \left\{ a \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Stimmt das und was muss jetzt gemacht werden??

04.04.2011, 13:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kuku
Daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^{n} + a^{n} } = max \left\{ a \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray*}$

Das folgt nicht daraus, sondern wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{2} = 1 \end{eqnarray*}$ ist eben $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^n + a^n} = a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kuku
Und jetzt? Stimmt das und was muss jetzt gemacht werden??

Du mußt für a >= b zeigen, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a^n + b^n} = a \end{eqnarray*}$ ist.

04.04.2011, 14:04

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Kuku
Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ (Analog dazu dann natürlich Fall 2 mit $\begin{eqnarray*} b \geq a \end{eqnarray*}$ )

Und weil Fall 2 offenbar tatsächlich vollkommen analog läuft,
sagt man in einer solchen Situation auch:
Sei OBdA (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$
und erspart sich dadurch unnötige Schreibarbeit.

Ist also $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ dann ist einerseits $\begin{eqnarray*} \max(a,b)=a \end{eqnarray*}$ und andererseits

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt[n]{a^n}\leq\sqrt[n]{a^n+b^n}\leq\sqrt[n]{a^n+a^n}=\sqrt[n]{2}a. \end{eqnarray*}$

Funkt's jetzt endlich?

04.04.2011, 14:06

Manni Feinbein

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Ups ... zu langsam. Sorry klarsoweit.

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