Gitterschnittpunkte einer Hyperkugel

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dreichow Auf diesen Beitrag antworten »
Gitterschnittpunkte einer Hyperkugel
Meine Frage:
Hallo zusammen,

das Problem um was es geht, wurde bereits in ähnlicher Weise hier besprochen:
http://www.matheboard.de/archive/387321/thread.html

Aus gleichem Grund, wie bei Ridcully84, bin ich nun schon länger auf der Suche nach der Lösung einer ähnlichen Aufgabe - allerdings gilt es bei mir die Gitterschnittpunkte einer Hyperkugel mit 25 Ebenen und einem Radius von 5 zu bestimmen. Alle Punkte auf der Kugelebene haben im übrigens den gleichen Abstand zum Mittelpunkt.

Könnt ihr mir sagen, wie viele Schnittpunkte mit ganzzahligen Koordinaten in diesem Beispiel existieren?


Vielen Dank im Voraus
Dennis

Meine Ideen:
Ansatz für eine Hyperkugel mit 9 Ebenen und einem Radius von 3:



Aber wie bildet man das auf 25 Ebenen mit Radius 5 ab?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir den angegebenen Thread mal richtig durchliest, dann müssten dir schon ein paar Ideen kommen, wie man die dortige Lösung auf dein Problem übertragen kann: Das fängt damit an, die Möglichkeiten der Darstellung von als Summe von (ungeordneten) Quadraten nichtnegativer Zahlen aufzuschreiben. Bei 9 waren es 4 Möglichkeiten, hier bei 25 sind es ein paar mehr...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gitterschnittpunkte einer Hyperkugel
Zitat:
Original von dreichow
[Aus gleichem Grund, wie bei Ridcully84, bin ich nun schon länger auf der Suche nach der Lösung einer ähnlichen Aufgabe[...]

Hm, aus dem gleichen Grund, also auch Geocoaching? verwirrt
dreichow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Wenn du dir den angegebenen Thread mal richtig durchliest, dann müssten dir schon ein paar Ideen kommen, wie man die dortige Lösung auf dein Problem übertragen kann: Das fängt damit an, die Möglichkeiten der Darstellung von als Summe von (ungeordneten) Quadraten nichtnegativer Zahlen aufzuschreiben. Bei 9 waren es 4 Möglichkeiten, hier bei 25 sind es ein paar mehr...


Ich habe einmal (hoffentlich) alle möglichen Darstellungsformen von 25 als Summe von 25 Quadraten ganzer Zahlen definiert. Die weiteren Schritte daraus bleiben mir aber rätselhaft. Könnt ihr mir hier vielleicht bitte helfen?



code:
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25 = 1 *(\pm 5^{2}) +                                                                             24 * (\pm 0^{2}) 
   =                   1 * (\pm 4^{2}) +  1 * (\pm 3^{2}) +                                       23 * (\pm 0^{2})
   =                   1 * (\pm 4^{2}) +                     2 * (\pm 2^{2}) +  1 * (\pm 1^{2}) + 21 * (\pm 0^{2})
   =                   1 * (\pm 4^{2}) +                     1 * (\pm 2^{2}) +  5 * (\pm 1^{2}) + 18 * (\pm 0^{2})
   =                   1 * (\pm 4^{2}) +                                        9 * (\pm 1^{2}) + 15 * (\pm 0^{2})
   =                                      2 * (\pm 3^{2}) +  1 * (\pm 2^{2}) +  3 * (\pm 1^{2}) + 19 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      2 * (\pm 3^{2}) +                  +  7 * (\pm 1^{2}) + 16 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      1 * (\pm 3^{2}) +  4 * (\pm 2^{2}) +                  + 20 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      1 * (\pm 3^{2}) +  3 * (\pm 2^{2}) +  4 * (\pm 1^{2}) + 17 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      1 * (\pm 3^{2}) +  2 * (\pm 2^{2}) +  8 * (\pm 1^{2}) + 14 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      1 * (\pm 3^{2}) +  1 * (\pm 2^{2}) + 12 * (\pm 1^{2}) + 11 * (\pm 0^{2})                             
   =                                      1 * (\pm 3^{2}) +                  + 16 * (\pm 1^{2}) +  8 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         6 * (\pm 2^{2}) +  1 * (\pm 1^{2}) + 18 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         5 * (\pm 2^{2}) +  5 * (\pm 1^{2}) + 15 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         4 * (\pm 2^{2}) +  9 * (\pm 1^{2}) + 12 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         3 * (\pm 2^{2}) + 13 * (\pm 1^{2}) +  9 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         2 * (\pm 2^{2}) + 17 * (\pm 1^{2}) +  6 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                         1 * (\pm 2^{2}) + 21 * (\pm 1^{2}) +  3 * (\pm 0^{2})                             
   =                                                                           25 * (\pm 1^{2})


5000000000000000000000000
4300000000000000000000000
4221000000000000000000000
4211111000000000000000000
4111111111000000000000000
3321110000000000000000000
3311111110000000000000000
3222200000000000000000000
3222111100000000000000000
3221111111100000000000000
3211111111111100000000000
3111111111111111100000000
2222221000000000000000000
2222211111000000000000000
2222111111111000000000000
2221111111111111000000000
2211111111111111111000000
2111111111111111111111000
1111111111111111111111111
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht soweit erstmal gut und vor allem vollständig aus. Freude


Jetzt geht es um die Anzahl der Tupel in jedem einzelnen der 19 aufgelisteten Fälle, nehmen wir als Beispiel mal den:



bzw. in dieser anderen Schreibweise 3321110000000000000000000. Zunächst werden die Zahlen den 25 Plätzen zugeordnet, gemäß Permutationen mit Wiederholung ergibt das



Zuordnungsmöglichkeiten. In jeder dieser Zuordnungen kannst du nun bei allen Nichtnull-Elementen noch das Vorzeichen frei wählen, hier haben wir 6 Nichtnullen, das macht also summa summarum in diesem Fall genau



mögliche 25-Tupel an Lösungen.



P.S.: Anzahl (*) kann man sich auch anders überlegen: Man wählt zuerst 2 Positionen (aus 25) für die beiden Dreien, dann 1 Position (aus 23) für die eine Zwei, sowie schließlich 3 Positionen (aus 22) für die drei Einsen, die Position der 19 Nullen ist dann bereits festgelegt. Das macht dann



Möglichkeiten, was nach Vereinfachung denselben Wert wie (*) darstellt.
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