Trigonometrische Gleichung

31.03.2011, 20:15

trigonometrie0

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Trigonometrische Gleichung

Meine Frage:
Moin, moin,

ich habe ein Riesenproblem ich sitze seit 5 Stunden vor einer trigonometrischen Gleichung und habe keine Ahnung von nichts !

5sin(x) + 2 cos(x) + 2 = 0

Wir lassen Tangens immer komplett außer Acht.
Wir wandeln cos immer in sin um und substituieren dann.
Lösungsmenge erst mit D=R, anschließend D=]0;2pi]

Ich habe absolut keinen Plan und morgen steht eine Ex an.

Meine Ideen:
Bis jetzt bin ich nur darauf gekommen daraus

5 sin(x) + 2 sin (x - pi/2) + 2 = 0 zu machen

31.03.2011, 20:18

chris95

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Wie wärs mitm Trigonometrischen Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

31.03.2011, 20:22

trigonometrie0

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Ja aber ich hab doch nirgendwo sin²(x)

31.03.2011, 20:27

trigonometrie0

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oder kann ich irgendwie sin²(x) daraus machen ?

31.03.2011, 20:28

chris95

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Du kannst aber den trigonometirschen Pythagroas anch sin(x) auflösen.

Kleiner Tipp: Beim Wurzel ziehen verschwindet das Quadrat Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2011, 20:39

Mystic

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Ich würde hier einfach das Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{eqnarray*}$

benützen... Um das hier anwenden zu können, muss man allerdings die gegebene Gleichung erst durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{29} \end{eqnarray*}$ dividieren, sonst kann das hier nicht funktionieren...

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31.03.2011, 20:46

HAL 9000

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Mystics Weg ist der, den ich bei diesem Typ Gleichungen normalerweise auch empfehlen würde.

Bei dieser ganz speziellen Gleichung hier ist aber auch das Einsetzen von

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cos\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)-1 \end{eqnarray*}$

mit der dann möglichen Faktorisierung eine passable Alternative. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.03.2011, 21:16

trigonometrie0

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cos²(x) = 1 - sin²(x) |squrt
cos(x) = 1 - sin(x) ????

01.04.2011, 00:01

mYthos

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O Gott, nein.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2-b^2} \neq a - b \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
Der Weg über den trig. Pyth. führt leider auch zu falschen Lösungen und ist hier NICHT zu empfehlen!

Greife lieber den anderen Vorschlag auf:

$\begin{eqnarray*} \frac 5 {\sqrt{29}} \sin(x) + \frac 2 {\sqrt{29}} \cos(x) = -\frac 2 {\sqrt{29}} \end{eqnarray*}$

Nun führen wir einen Hilfswinkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein, für den gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin \varphi = \frac 2 {\sqrt{29}} \ \text{und} \ \cos \varphi = \frac 5 {\sqrt{29}} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung wird dann zu

$\begin{eqnarray*} \sin(x) \cos \varphi + \cos(x) \sin \varphi = -\frac 2 {\sqrt{29}} \end{eqnarray*}$

Links steht genau das Ergebnis des Summensatzes für $\begin{eqnarray*} \sin(x + \varphi) \end{eqnarray*}$ .
Löse die Gleichung nun nach $\begin{eqnarray*} x + \varphi \end{eqnarray*}$ , letztendlich kannst du daraus x berechnen.

mY+

01.04.2011, 11:51

chris95

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Warum führt der Pythagoras zum falschen Ergebnis? Wegen Vorzeichen auf Grund von quadrieren/wurzel ziehen?

01.04.2011, 13:16

René Gruber

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Umformungen durch Quadrieren - was du vermutlich an irgendeiner Stelle vorhast - können Scheinlösungen verursachen. D.h., du ermittelst zwar alle Lösungen, aber ggfs. zusätzlich auch noch ein paar Werte, die keine Lösungen sind.

Bei Mystics Weg, oder auch dem von HAL 9000, besteht dieses Problem nicht.

01.04.2011, 13:18

chris95

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Ich könnte aber doch danach die Probe machen und dann gucken welche Lösungen passen und welche nicht? So machen wir das immer in der Schule. Vergess ich da etwas auch noch andere Lösungen?

01.04.2011, 13:19

René Gruber

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Zitat:

Original von chris95
Ich könnte aber doch danach die Probe machen und dann gucken welche Lösungen passen und welche nicht?

Mit dieser Ergänzung ist das dann auch in Ordnung. Freude

Freude

Ich wollte auch nur betonen, dass bei den anderen beiden Methoden die Probe nicht zwingend nötig ist, bei dir dagegen schon.

01.04.2011, 13:21

chris95

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Zitat:

Original von René Gruber

Ich wollte auch nur betonen, dass bei den anderen beiden Methoden die Probe nicht zwingend nötig ist, bei dir dagegen schon.

Danke

Freude

Die anderen Methoden scheinen mir subjektiv betrachtet eher ungewohnt und umständlich. Da rechne ich lieber mit Pythagoras und dann Probe. smile

smile

01.04.2011, 13:23

René Gruber

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Wie du meinst. Aber es kann nicht schaden, stets ein offenes Ohr für Alternativen zu haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2011, 15:00

trigonometrie0

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Wenn es noch jemanden interessiert. (Wir haben glücklicherweise keine Ex geschrieben) hier die richtige Lösung :

$\begin{eqnarray*} <br /> 5 \sin(x) + 2 \cos(x) + 2 = 0<br /> 5 \sin(x) + 2\sqrt{1-\sin²(x) } + 2 = 0<br /> // Wurzel isolieren und quadrieren<br /> 5 \sin(x) + 2 = -2 \sqrt{1 - \sin²(x) } |\ ()²<br /> (5 \sin(x) + 2)² = 4 (1 - \sin²(x))<br /> 25 \sin²(x) + 20 \sin(x) + 4 = 4 - 4 \sin²(x)<br /> 29 \sin²(x) + 20 \sin(x) = 0<br /> <br /> //Substituieren, Mondscheinformel etc....<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

03.04.2011, 15:16

Mystic

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Zitat:

Original von trigonometrie0
Hammer

Hammer

Was willst du uns damit sagen? Dass dies anders, besser oder einsichtiger gewesen wäre als die anderen Vorschläge hier? verwirrt

verwirrt

Wenn ja, so kann man darüber auch anderer Meinung sein... Z.B. tritt hier das Phänomen auf, auf welches ja schon René hingewiesen hat, dass nämlich die letzte Gleichung Lösungen hat, wie z.B. x=0, welche gar nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung sind...

03.04.2011, 20:03

trigonometrie0

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Nein nein das Hammer

Hammer

sollte verdeutlichen wie es mich ärgert dass ich nicht selbst darauf gekommen bin. Es ist gar nicht so schwer.

03.04.2011, 20:04

trigonometrie0

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Wir haben dann natürlich auch noch die Probe in der Grundformel gemacht und konnten die falschen Nullstellen ausschließen

04.04.2011, 00:06

Mystic

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Zitat:

Original von trigonometrie0
Nein nein das Hammer

Hammer

sollte verdeutlichen wie es mich ärgert dass ich nicht selbst darauf gekommen bin. Es ist gar nicht so schwer.

Ja, tatsächlich wurdest du schon iin der allerersten Antwort auf die Möglichkeit hingewiesen, eine der beiden trigonometrischen Funktionen durch die andere zu ersetzen:

Zitat:

Original von chris95
Wie wärs mitm Trigonometrischen Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$

04.04.2011, 20:36

trigonometrie0

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Stimmt schon aber ich bin halt sehr schwer von Begriff in Sachen Mathe
und wusste damit irgendwie nichts anzufangen.
Ich will hier niemanden anfeinden und bin froh dass ihr mir alle helfen wolltet.

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