Binomialkoeffizient, binomische Formel

01.04.2011, 10:11	Kuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient, binomische Formel Hallo! Ich habe hier eine Aufgabe mit Musterlösung, kann aber einen Rechenschritt nicht nachvollziehen. Aufgabe: Man zeige mit Hilfe der binomischen Formel, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 1 = \frac{1}{3^{n} } \sum\limits_{k=0}^n 2^{k} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Lösung: $\begin{eqnarray} 1 = \frac{1}{3^{n} } \sum\limits_{k=0}^n 2^{k} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^{n} } \sum\limits_{k=0}^n 2k 1^{n - k} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{3^{n} } \left(2 + 1\right)^{n} \end{eqnarray*}$ = 1 Kann mir jemand erklären, warum die einzelnen Rechenschritte durchgeführt werden?? Danke!
01.04.2011, 10:25	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, kennst du den binomischen Lehrsatz? Der wird hier angewendet. Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n~\binom{n}{k} \, a^k \cdot b^{n-k} \end{eqnarray}$ .
01.04.2011, 13:46	Kuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja, den kenne ich. Ich weiß aber nicht, WIE man den genau anwendet. Ich erkenne bei der vorliegenden Lösung auch nicht, wie/wo er dort angewendet wurde...
01.04.2011, 13:48	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht doch dort $\begin{eqnarray} 1^{n-k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 2^k \end{eqnarray}$ . Das mit dem $\begin{eqnarray} 2^k \end{eqnarray}$ ist ein Tippfehler, 2k ist falsch. Was ist dann a und was b?
01.04.2011, 13:56	Kuku	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn mit dem 2k ein Fehler in der Lösung ist, dann macht das langsam mehr Sinn... a = 2 und b = 1, da (2 + 1)^n Stimmt das??
01.04.2011, 14:04	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Steht in der Lösung wirklich 2k? Dann verstehe ich deine Verwirrung.
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