Vollständige Induktion

01.04.2011, 13:09

Matlabber

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe zur vollständigen Induktion vor mir, bei der ich im besten Willen nicht auf eine Lösung komme. Bin eigentlich recht fit in der Materie aber hier hapert es momentan mächtig.

Die Behauptung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4 = \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ soll bewiesen oder widerlegt werden.

Meine Ideen:
Induktionsanfang mit n = 1 gibt 1+2+3+4 = (6+15+10-1)/30 = 10
Dann der Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4 + (n+1)^4 = \frac{6(n+1)^5 + 15(n+1)^4 + 10(n+1)^3 - n+1}{30} \end{eqnarray*}$

und anwenden der Induktionsvoraussetzung ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} + (n+1)^4 = \frac{6(n+1)^5 + 15(n+1)^4 + 10(n+1)^3 - n+1}{30} \end{eqnarray*}$

Von jetzt an sollte man durch einige Termumformungen eigentlich auf das Ergebnis kommen, bis auf auf ausmultiplizieren von (n+1)^i (führt meiner Ansicht nach nicht zu einem wünschenswerten Ergebnis) fällt mir aber nicht auf wie ich das beweisen soll.

Vielen Dank im Vorraus

01.04.2011, 13:13

Kimi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Geh nochmal den Induktionsanfang durch, der ist dir völlig misslungen

Edit: Der Induktionsschluss auch unglücklich

01.04.2011, 13:16

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Induktionsanfang ist schon falsch.

Bei der Umformung empfiehlt es sich, auf der linken Seite etwas auszuklammern. (Probier mal, ob Du eine Nullstelle des Terms findest)

01.04.2011, 13:30

Matlabber2

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh sorry, IA ist natürlich voll verkorkst. War gerade beim Schreiben wohl schon in Gedanken bei der Frage. IA liefert natürlich 1^4 = 30/30 = 1.
Wo ist der Fehler im Induktionsschluss?
Nullstellen wären 0 und -1, gibt es noch welche?

01.04.2011, 13:38

Kimi_R

Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Induktionsschluss ist es mein Fehler, der passt soweit

Ein umständlicher, aber ans Ziel führender Weg wäre es, alle (n+1) Potenzen aufzulösen, also etwa (n+1)^3 = n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1

Kannst auch erstmal mit 30 durchmultiplizieren um die Brüche wegzubekommen

PS: 0 und -1 wären keine Nullstellen. Weiß aber auch nicht, worauf Helferlein genau hinaus will

01.04.2011, 13:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Matlabber
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4 + (n+1)^4 = \frac{6(n+1)^5 + 15(n+1)^4 + 10(n+1)^3 - n+1}{30} \end{eqnarray*}$

Zunächst mal solltest du die Hinweise beachten und den Vorzeichenfehler auf der rechten Seite korrigieren.

Dann kannst du mal schauen, ob (n+1) als Faktor in $\begin{eqnarray*} 6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

01.04.2011, 14:24

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kimi_R
PS: 0 und -1 wären keine Nullstellen. Weiß aber auch nicht, worauf Helferlein genau hinaus will

0 und -1 sind Nullstellen der rechten Seite. Auf was ich genau hinaus will, hat klarsoweit schon geschrieben: Ausklammern.
Zum einen um den langen Term etwas handlicher zu bekommen, zum anderen weil genau die Nullstelle bei -1 mit geeigneter Umformung den Induktionsschluss vereinfacht.

Ich muss jetzt aber eh weg von daher wurstel ich hier nicht weiter rum (es sei denn bis heute abend ist noch keine Lösung in Sicht Augenzwinkern

)

01.04.2011, 14:46

Matlabber3

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^4 + (n+1)^4 = \frac{6(n+1)^5 + 15(n+1)^4 + 10(n+1)^3 - n-1}{30} \end{eqnarray*}$ ist es natürlich, Klammern vergessen.
Ich habe nun nochmal das ganze Ausmultipliziert und festgestellt das ich mich das erste mal irgendwo verrechnet hatte (ich glaube ein Faktor 30 bei (n+1)^4 hatte gefehlt). Die Behauptung lässt sich so beweisen. Falls es wen interessiert steht dann auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} 180n^5 + 1350n^4 + 3900n^3 + 5400n^2 + 3570n + 900 \end{eqnarray*}$

Insofern hätte ich die Frage gar nicht stellen brauchen wenn ich etwas genauer gerechnet hätte. Wie ich per ausklammern von n+1 auf die Lösung kommen soll ist mir aber leider immer noch nicht klar, wenn sich einer von euch die Mühe machen möchte mir den Ansatz näher zu bringen würd ich mich freuen, aber auch ansonsten schon einmal vielen Dank!

01.04.2011, 15:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \frac{6n^5 + 15n^4 + 10n^3 - n}{30} + (n+1)^4 = \frac{(n+1) \cdot (6n^4 + 9n^3 + n^2 - n) + 30(n+1)^4}{30}<br /> = \frac{(n+1) \cdot (6n^4 + 9n^3 + n^2 - n + 30n^3 + 90n^2 + 90n + 30)}{30} \end{eqnarray*}$

Jetzt muß man noch zeigen, daß $\begin{eqnarray*} 6n^4 + 39n^3 + 91n^2 + 89n + 30 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 6(n+1)^4 + 15(n+1)^3 + 10(n+1)^2 - 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Um die Arbeit, die Klammern auszumultiplizieren kommt man nicht rum. Aber es ist zumindenst eine Potenz geringer.

01.04.2011, 15:57

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Man kann auch die Überprüfung des Induktionsanfangs noch etwa um den Faktor 10 beschleunigen, indem man n=0 als Induktionsanfang nimmt... Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen