anderes Ergebnis bei der Lösung in R bzw in C

01.04.2011, 14:27

Pascal95

anderes Ergebnis bei der Lösung in R bzw in C

Hallo,

ich versuche zu lösen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} \end{eqnarray*}$

Dabei sind a und b positive Zahlen, daher ist dieser Term eigentlich nicht definiert.

Ich versuche micht mit dem ersten Wurzelgesetz:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt{a \cdot b} \end{eqnarray*}$
Das kann ja dann gelöst werden.

Wenn ich jetzt versuche den Term mit Hilfe der Komplexen Zahlen (mit der imaginären Einheit i) zu lösen, kommt das raus:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{(-1) \cdot a} \cdot \sqrt{(-1) \cdot b} = \sqrt{(-1)} \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{(-1)} \cdot \sqrt{b}<br /> \end{eqnarray*}$
Hier kann ich die beiden $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-1)} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, was dann $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ergibt oder als Quadrat der imaginären Einheit i schreiben: i²=-1.
weiter...
$\begin{eqnarray*} i^2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = i^2 \cdot \sqrt{a \cdot b} = - \sqrt{a \cdot b} \end{eqnarray*}$

Warum kommen hier verschieden Ergebnisse raus?

Wenn man die Ergebnisse quadriert, kommt ja das selbe jeweils raus: $\begin{eqnarray*} a \cdot b \end{eqnarray*}$ .
Oder liegt es daran, dass der Term in der reellen Lösung nicht definiert ist?

Pascal

01.04.2011, 14:30

Iorek

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RE: anderes Ergebnis bei der Lösung in R bzw in C

Zitat:

Original von Pascal95
Ich versuche micht mit dem ersten Wurzelgesetz:

Die Wurzelgesetze sind nur für positive Zahlen zu verwenden.

01.04.2011, 14:31

Pascal95

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RE: anderes Ergebnis bei der Lösung in R bzw in C
Vielen Dank für diese schnelle Antwort.

Liegt es daran, dass die Wurzelgesetze auch nur für reelle Zahlen definiert sind?

Denn schließlich ist der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} \end{eqnarray*}$ ja garnicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert.

01.04.2011, 14:36

Iorek

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Ja, die Wurzelgesetze sind für komplexe Zahlen nicht sinnvoll, z.B. lässt sich damit $\begin{eqnarray*} 1=-1 \end{eqnarray*}$ "zeigen".

01.04.2011, 14:39

Pascal95

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Ok, wenn ich also versuche so eine Gleichung zu lösen, müssen immer alle Terme definiert sein und die Wurzelgesetze gelten nicht für Komplexe Zahlen.

Wie man 1=-1 "zeigt" (lol), habe ich ja schon gemacht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} - \sqrt{ab} = \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ hatte ich ja raus.
Dann kann man auf beiden Seite durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ teilen, und...
$\begin{eqnarray*} -1 = 1 \end{eqnarray*}$ smile

Vielen Dank dafür.

01.04.2011, 14:43

Iorek

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Zitat:

Original von Pascal95
Dann kann man auf beiden Seite durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ teilen, und...
$\begin{eqnarray*} -1 = 1 \end{eqnarray*}$ smile

Da wäre ich vorsichtig, für $\begin{eqnarray*} a=0,~b\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt durchaus $\begin{eqnarray*} -\sqrt{ab}=0=\sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ , durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ dividieren darfst du dann auch nicht.

Vielmehr wäre mit den Wurzelgesetzen: $\begin{eqnarray*} 1=\sqrt 1 = \sqrt{(-1)\cdot -1}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i = i^2=-1 \end{eqnarray*}$ .

01.04.2011, 14:46

Pascal95

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} 1=\sqrt 1 = \sqrt{(-1)\cdot -1}=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=i\cdot i = i^2=-1 \end{eqnarray*}$ .

Das gefällt mir smile

Und bei meiner "Lösung", oder besser Idee, hatte ich die Ausnahme mit Verbindung des Nullproduktsatzes vergessen.
In diesem Falle für a=0 gilt dann natürlich auch ab = -ab, denn beides =0.

Danke!

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