Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

01.04.2011, 14:38

GER89603

Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Meine Frage:
Hallo,
ich bin leider etwas unischer ob das was ich hier verstanden habe richtig ist.
Die Aufgabe lautet:

Zwei unterscheidbare ideale Würfel werden mehrfach geworfen. X bezeichne die Anzahl der Würfe, die erforderlich sind bis der erste Würfel eine "6" zeigt; Y entsprechend die Anzahl bis der zweite Würfel eine "1" zeigt. Bestimmen Sie E(X), E(Y), E(X+Y) und E(X*Y).

Meine Ideen:

Der Erwartungswert ist E()=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6.
Dies ist dann 3,5.
Also wäre dann E(X)=3,5 und E(Y)=3,5
E(X+Y)=3,5+3,5=7 und E(X*Y)=3,5*3,5=12,25
Aber irgendwie erscheint mir das nicht richtig.

01.04.2011, 14:56

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Das stimmt auch nicht unglücklich

X bezeichne die Anzahl der Würfe, die erforderlich sind bis der erste Würfel eine "6" zeigt;
Das ist eine völlig andere Aufgabenstellung als das was du gerechnet hast unglücklich

Überlege dir mal die Verteilung davon und berechne damit den Erwartungswert.

Analog für Y.

01.04.2011, 15:09

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Mein Verständnis Problem ist das ich den Erwartungswert so verstanden habe,
das er angibt wie lange ich würfeln muss bis die gewünschte Zahl kommt.
Deshalb bin ich etwas verwirrt wie ich das jetzt machen soll wenn ich einerseits eine
Zahl X habe die dies angibt und dann noch einen Erwartungswert angeben soll.
Könnte jemand meine Verwirrugn lüften?

01.04.2011, 15:20

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Zitat:

Original von GER89603
Mein Verständnis Problem ist das ich den Erwartungswert so verstanden habe,
das er angibt wie lange ich würfeln muss bis die gewünschte Zahl kommt.

Ja, der Erwartungswert hiervon ist quasi die erwartete Anzahl an Würfen

Schau dir die Berechnung des Erwartungswertes nochmal an

Welche Verteilung liegt in dieser Aufgabe vor?

01.04.2011, 15:30

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Das Würfeln mit einem Würfel unterliegt einer Exponentiellen Verteilung.
Der Erwartungswert hierfür wiederrum ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Aber so wirklich verstehen was ich da tue tu ich immer noch nicht.

01.04.2011, 15:39

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Zitat:

Original von GER89603
Das Würfeln mit einem Würfel unterliegt einer Exponentiellen Verteilung.
Der Erwartungswert hierfür wiederrum ist 1/ $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Aber so wirklich verstehen was ich da tue tu ich immer noch nicht.

Wie kann es exponentiell verteilt sein wenn wir uns im Diskreten befinden?

Also:
X bezeichne die Anzahl der Würfe, die erforderlich sind bis der erste Würfel eine "6" zeigt
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit dass 1,2,3... Würfe hierfür erforderlich sind?

01.04.2011, 15:56

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit ja sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}^n \end{eqnarray*}$
wobei das n für die Anzahl an Würfen steht.
Und dann wäre
E(X)= 6* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}^n \end{eqnarray*}$ und
E(Y)=1* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}^n \end{eqnarray*}$
Aber auch da glaube ich nicht das ich das richtig verstanden habe.

01.04.2011, 15:59

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Zitat:

Original von GER89603
Dann müsste die Wahrscheinlichkeit ja sein:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch

Wenn k Würfe erforderlich sind bis der erste Würfel eine 6 zeigt dann müssen die vorherigen Würfe ja eben keine 6 geworfen haben, und das wird multipliziert

01.04.2011, 16:04

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Dann muss die Wahrscheinlichkeit also sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*\frac{5}{6}^{n-1} \end{eqnarray*}$

01.04.2011, 16:10

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Zitat:

Original von GER89603
Dann muss die Wahrscheinlichkeit also sein:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*\frac{5}{6}^{n-1} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz, ich denke es ist gemeint dass es vor dem ersten Erfolg n Misserfolge gab, also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*\left(\frac{5}{6}\right)^n \end{eqnarray*}$
Das nennt man auch die "geometrische Verteilung"
Nun berechne davon den Erwartungswert

PS: Im Allgemeinen ist
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}^{n-1}\neq\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \end{eqnarray*}$

01.04.2011, 16:24

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Ja sorry die Klammern hab ich leider vergessen.
das bedeutet das die Wahrscheinlichkeit beim X-ten Wurf eine 1 bzw 6 zu würfeln:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^{x-1} \end{eqnarray*}$ ist.
Der Erwartungswert eine geomatrischen Verteilung ist ja wiederrum als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$
definiert.
Was dann ergeben würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^{x-1}} \end{eqnarray*}$
Aber auch da bin ich mir nicht sicher.

01.04.2011, 16:26

Math1986

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln

Zitat:

Original von GER89603
Der Erwartungswert eine geomatrischen Verteilung ist ja wiederrum als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$
definiert.
Was dann ergeben würde:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{1}{6}*(\frac{5}{6})^{x-1}} \end{eqnarray*}$
Aber auch da bin ich mir nicht sicher.

Nein, $\begin{eqnarray*} p=\frac 16 \end{eqnarray*}$ ist doch gegeben, das musst du doch nur in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ einsetzen

01.04.2011, 16:30

GER89603

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RE: Erwartungswert bei ideal unterscheidbaren Würfeln
Das bedeutet dann ja das
E(X)=6
E(Y)=6
E(X+Y)=12 und E(X*Y)=36 ist.
Und die Wahrscheinlichkeit musst ich dann nur bestimmen
um zu erkennen das das eine geometrische Verteilung ist?

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