Krümmung der Ellipse b²x²+a²y²-a²b²=0

01.04.2011, 15:22

sl65amg

Krümmung der Ellipse b²x²+a²y²-a²b²=0

Hallo Community,
Ich verzweifel an der Aufgabenstellung meiner Facharbeit.

Es handelt sich um eine allgemeine Gleichung der Ellipse:
b²x²+a²y²-a²b²=0
aus dieser muss ich den Krümmunsradius r oder Roh in P(x=x0) berechnen.
Mein Lehrer hat mir das Ergebnis für den Radius schon genannt
r=1/a^4*b mal [wurzel aus a^4+x²(b²-a²)]³

Ich weis das ich die den Kehrwert der Krümmunsformel nehmen muss also
r=(1+y'²)/y'', durch implizite Differentiation erhalten ich dann für die 1.Ableitung
2b²x+2a²yy'=0
=>y'=-b²/a²*x/y & y''=-b²/a²(y-x*y'/y²)
diese Beziehungen setz ich dann ja alle in die Krümmungsformel ein und ersetze y' und y'' durch die jeweilige Gleichung.
Ich hab das schon mehrmals Durch gerechnet, iwo mach ich immer einen Fehler, vllt kann mir ja jmd mit ein Paar Schritte aushelfen, damit ich endlich zu dem oben gennanten Ergebnis komme.

MIt freundlichen Grüßen
Sl65amg

01.04.2011, 16:16

riwe

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RE: Krümmung der Ellipse b²x²+a²y²-a²b²=0
ich nehme an, das soll

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{a^4b}\sqrt{(a^4+x^2(b^2-a^2))^3} \end{eqnarray*}$ bedeuten verwirrt

das erhalte ich aus den ausdrücken, die du auch schon berechnet hast.

als zwischenergebnis habe ich:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a^4y^2+b^4x^2)^{\frac{3}{2}}}{a^4b^2(y^2-xyy^\prime)} \end{eqnarray*}$

ich hoffe, ich habe mich nicht zusehr vertippt.

01.04.2011, 16:35

sl65amg

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Hi, der ganze Wurzeltermn wird hoch 3 genommen.

Wie viele schritte hast du gebraucht um dahin zu kommen?

01.04.2011, 16:59

riwe

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Zitat:

Original von sl65amg
Hi, der ganze Wurzeltermn wird hoch 3 genommen.

Wie viele schritte hast du gebraucht um dahin zu kommen?

die 3. potenz steht unter der wurzel Augenzwinkern

anzahl der schritte = 0: ich saß am schreibtisch Augenzwinkern

ich habe sie nicht gezählt, in etwa:

1) 1. ableitung
2) 2. ableitung
3) berechne zähler und nenner getrennt
4) bilde den bruch
5) setze erst jetzt ein, in dem term oben für mußt du noch für y² und xyy´einsetzen, was ja einfach ist mit hilfe der ellipsengleichung und der 1. ableitung

01.04.2011, 19:02

sl65amg

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hmm dh der anfangs term sieht dann so aus :

r = 〖[1+&#12310 traurig

(-b^2)/a^2 *(x/y)〗^(^2 ))]〗^(3/2)/((-b²)/a²*((y-x*y')/y²) ) ?
oh gott iwie krieg ich das nich richtig eingegeben in den formeleditor -.-

02.04.2011, 12:15

riwe

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Zitat:

Original von sl65amg
hmm dh der anfangs term sieht dann so aus :

r = 〖[1+&#12310 traurig

(-b^2)/a^2 *(x/y)〗^(^2 ))]〗^(3/2)/((-b²)/a²*((y-x*y')/y²) ) ?
oh gott iwie krieg ich das nich richtig eingegeben in den formeleditor -.-

da ist ja nun alles sonnenklar Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 1)\quad{}r=|\frac{(1+y^{\prime2})^\frac{3}{2}}{y^{\prime\prime}}| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2)\quad{ }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3)\quad{ }y^\prime=-\frac{b^2x}{a^2y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4)\quad{ }y^{\prime\prime}=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{y-xy^\prime}{y^2} \end{eqnarray*}$

in 1) einsetzen ergibt zunächst

$\begin{eqnarray*} r=\frac{a^2y^2(a^4y^2+b^4x^2)^\frac{3}{2}}{a^6b^2y^3(y-xy^\prime)} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} 1)\to a^2y^2=a^2b^2-b^2x^2 \quad{ }\wedge\quad{ } 2)\to a^2yy^\prime=-b^2x \end{eqnarray*}$

erhält man nun

$\begin{eqnarray*} r=\frac{a^2b^3(a^4+x^2(b^2-a^2))^\frac{3}{2}}{a^4b^2\cdot a^2b^2} \end{eqnarray*}$

den noch verbleibenden "rest" solltest du nun alleine schaffen

ein danke schön für die latex- und sonstigen mühen macht immer freude.
noch viel spaß bei deiner arbeit Augenzwinkern

02.04.2011, 14:06

sl65amg

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Ich danke dir vielmals für deine Hilfe und die Zeit die du dafür investieren musstest! smile

Echt bin der sehr dankbar, bis dahin bin ich jetzt auch endlich gekommen und den Rest mach ich jetzt smile

Falls iwo noch Fragen sein sollten, melde ich mich hier Big Laugh

schönen sonnigen tag noch Big Laugh

02.04.2011, 17:05

sl65amg

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Hallo,
Ich bins nochmal ^^

Wenn ich den Krümmunsradius zB in den Scheiteln A und B berechnen will, in der allgemeinen Form, dann muss ich doch x=a setzen für den Scheitel A und x=0 für den Scheitel B oder?

Was würde man den als Zwischenergebnis bekommen, bevor man r1=b²/a und r2=a²/b kriegt?

mfg sl65amg

02.04.2011, 17:11

riwe

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du brauchst doch nur für x = a bzw. x = b einzusetzen.
wo liegt da das problem verwirrt

02.04.2011, 17:18

sl65amg

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die hoch ³ macht mir iwie Probleme, wenn ich x=a und x=b in die Obige Formel für den Radius einsetze hmm verwirrt

02.04.2011, 17:34

sl65amg

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bis hierhin komme ich, wenn ich x=a setze
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^4*b} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²b²} ^{3} \end{eqnarray*}$
und dann?

02.04.2011, 19:10

riwe

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Zitat:

Original von sl65amg
bis hierhin komme ich, wenn ich x=a setze
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^4*b} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²b²} ^{3} \end{eqnarray*}$
und dann?

da hast du aber gewaltige um nicht zu sagen entsetzliche lücken unglücklich

sagen wir halt, du siehst den wald vor lauter bäumen nicht

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=? \end{eqnarray*}$

02.04.2011, 20:14

sl65amg

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oh gott klar -.-
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a²b²}=ab \end{eqnarray*}$

ich glaube ich mach für heute ne pause... 1 Tage ohne schlafe, hat ja schon verheerende Folgen..

danke für die hilfe

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