Grenzwert

01.04.2011, 17:06

Wodka4188

Grenzwert

Meine Frage:
Ich soll alle a und b in R bestimmen, so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }( \sqrt{x^2 -x+1} -ax -b)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
tja mit meinen ideen komm ich nicht so recht weit. zuerst hab ich gedacht ich kann das irgendwie gleichsetzen, aber geht glaub ich net....

01.04.2011, 17:28

Helferlein

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Bring erst einmal $\begin{eqnarray*} x^2-x+1 \end{eqnarray*}$ in Scheitelpunktsform.

01.04.2011, 17:34

Wodka4188

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mmh okay. dann hab ich denk ich $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to b}(\sqrt{(x-1)^2 +x}-ax-b ) =0 \end{eqnarray*}$ oder?

01.04.2011, 17:39

Helferlein

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Das ist zwar eine richtige Darstellung, aber sicher nicht die Scheitelpunktsform.

01.04.2011, 17:46

Wodka4188

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okay sorry. also wenn ich das jetzt richtig gemacht habe ist die scheitelpunktform davon:
$\begin{eqnarray*} (x-\frac{1}{2} )^2 +\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ oder?

01.04.2011, 17:56

Helferlein

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genau und das ganze steht unter der Wurzel. Wie verhält sich dieser Term also im Unendlichen?

01.04.2011, 18:03

Wodka4188

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ist immer noch unendlich oder?

01.04.2011, 18:06

Manni Feinbein

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RE: Grenzwert

Zitat:

Original von Wodka4188
Meine Frage:
Ich soll alle a und b in R bestimmen, so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty }( \sqrt{x^2 -x+1} -ax -b)=0 \end{eqnarray*}$

Du könntest auch einfach gemäß 3. bin. Formel erweitern und dann x kürzen.

01.04.2011, 18:15

Wodka4188

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Hä? also 3.binomische formel: (a+b)*(a-b)=a²-b²
jetzt weiß ich aber ehrlich gesagt nicht wie du das weiter meinst... oder seh ich mal wieder was nicht?

01.04.2011, 18:31

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Wodka4188
Hä? also 3.binomische formel: (a+b)*(a-b)=a²-b²

Genau, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-x+1}-(ax+b)=\frac{x(1-a^2)-(1+2ab)+\frac{1-b^2}x}{\sqrt{1-\frac 1x+\frac 1{x^2}}+a+\frac bx} \end{eqnarray*}$

Und da kann man eigentlich alles ablesen.

01.04.2011, 18:52

Helferlein

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Zitat:

Original von Wodka4188
ist immer noch unendlich oder?

Das schon, aber überleg Dir mal, was man bei diesem Term im Unendlichen vernachlässigen kann und was nicht. Daraus ziehst Du dann die Wurzel und hast die gesuchte Gerade.

01.04.2011, 19:34

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Helferlein

Zitat:

Original von Wodka4188
ist immer noch unendlich oder?

Das schon, aber überleg Dir mal, was man bei diesem Term im Unendlichen vernachlässigen kann und was nicht. Daraus ziehst Du dann die Wurzel und hast die gesuchte Gerade.

Dieser Ansatz ist für einen strengen Beweis ungünstig, denn Du damit wirst einen Ausdruck wie

$\begin{eqnarray*} \left(x-\frac 12\right)\left(\sqrt{1+\frac 3{4\left(x-\frac 12\right)^2}}-\frac{ax+b}{x-\frac 12}\right) \end{eqnarray*}$

zu betrachten haben.

Das "Vernachlässigen im Unendlichen" ist nur für Plausibilitätsbetrachtungen nützlich.

02.04.2011, 13:19

Wodka4188

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also muss ich das dann mit der 3.binomischen formel machen?

02.04.2011, 13:21

Wodka4188

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und dann setz ich den zähler [x(1-a²)-(1+2ab)+(1-b²)/x] gleich null oder wie?

02.04.2011, 14:20

Helferlein

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Ich denke Manni meint, dass Du dann den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ von diesem Term bilden sollst. Da fällt eigentlich alles bis auf den gesuchten Term weg.

02.04.2011, 14:33

Wodka4188

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mmh okay, aber dann hab ich doch $\begin{eqnarray*} \frac{-\infty (1-a²) -(1+2ab)+0}{\sqrt{1-0+0}+a+0 } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{-\infty(1-a²)-(1+2ab)}{1+a} \end{eqnarray*}$ oder muss ich vorher noch kürzen?

02.04.2011, 14:41

Helferlein

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Das $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ lässt Du erst noch als x stehen, sonst wird das mit der Geraden nichts und ja, Du solltest kürzen und den Bruch in zwei zerlegen. (einen mit x und einen mit den Konstanten)

02.04.2011, 14:55

Wodka4188

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also ganz ehrlich jetzt steh ich auf der leitung... ich komm nicht klar... traurig

02.04.2011, 15:57

Helferlein

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Du hast es doch schon fast:

$\begin{eqnarray*} \frac{x(1-a²)-(1+2ab)}{1+a} = x \cdot \frac{1-a²}{1+a}-\frac{1+2ab}{1+a} = ? \end{eqnarray*}$

Das soll gegen Null gehen, was aber nur klappen kann, wenn die Koeffizienten eine bestimmte Bedingung erfüllen.

03.04.2011, 10:52

Wodka4188

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also, wenn ich jetzt richtig denke, dann würde ich nach b umstellen und habe dann $\begin{eqnarray*} b=\frac{x(1-a²)-1}{2a} \end{eqnarray*}$ und a kann ich dann aus R frei wählen...!?

03.04.2011, 13:41

Helferlein

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Leider nein. Wobei die Lösung einfacher ist, als das, was Du vor hast.
a und b sind Konstanten, dürfen also nicht von x abhängen.
Außerdem weißt Du, dass der Grenzwert des gesamten Ausdrucks für x gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ Null werden soll.

03.04.2011, 17:22

Wodka4188

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mmh also dann setze ich mal reintheoretisch x=-unendlich und somit den ganzen term gleich null. da bleibt durch umstellen dann ubrig: $\begin{eqnarray*} \frac{1-a²}{1+a} =0 \end{eqnarray*}$ . da komm ich dann auf a=1.
dann setz ich das in den ursprungsterm wieder ein, dadruch fällt der erste term weg und ich habe noch: $\begin{eqnarray*} -\frac{1+2b}{2} =0 \Rightarrow b=- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
sprich: a=1 & b=-1/2
allerdings finde ich, dass das ein zeimlich bescheuerter lösungsweg wär.... aber ne andre idee hab ich nicht...

03.04.2011, 17:26

Helferlein

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Aber genau so musst Du es machen, wenn Du Mannis Lösungsweg nimmst.

Bei meiner Wurzelidee (ganz zu Anfang dieses Beitrags) wärest Du zwar schneller auf die Gerade gekommen, hättest aber keinen sauberen Beweis geführt, dass das die einzige Lösung ist.

03.04.2011, 17:33

Wodka4188

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echt jetzt? das isses? wow! hätte ich nicht gedacht, dass das stimmt... schon ein seltsamer lösungsweg find ich.
aber vielen, vielen lieben dank!!!!
grüße!

04.04.2011, 10:55

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Wodka4188
allerdings finde ich, dass das ein zeimlich bescheuerter lösungsweg wär.... aber ne andre idee hab ich nicht...

So so ...

Prüf lieber mal Dein Ergebnis!
Beachtet man nämlich, dass laut Aufgabenstellung für $\begin{eqnarray*} x\to-\infty \end{eqnarray*}$ untersucht werden soll, dann offenbart sich ein Vorzeichenfehler.
(der mir übrigens zunächst auch unterlaufen ist, da ich $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ gesehen zu haben glaubte)

Trotzdem ist es ganz und gar nicht bescheuert bei Termen dieser Art, durch einfaches Umformen, die Irrationalität vom Zähler in den Nenner oder vom Nenner in den Zähler zu bringen.

So ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x+1}-x-\frac 12=\frac 3{4\left(\sqrt{x^2+x+1}+x+\frac 12\right)} \end{eqnarray*}$

und dem Ausdruck auf der rechten Seite ist sein Verhalten für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ sicher leichter anzusehen als dem auf der rechten Seite.
Was soll daran nun bescheuert sein?

04.04.2011, 11:04

Mystic

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Zitat:

Original von Manni Feinbein
So ist z.B.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+x+1}-x-\frac 12=\frac 3{4\left(\sqrt{x^2+x+1}+x+\frac 12\right)} \end{eqnarray*}$

und dem Ausdruck auf der rechten Seite ist sein Verhalten für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ sicher leichter anzusehen als dem auf der rechten Seite.

Obwohl ich dem grundsätzlich zustimme, wäre mir diese Formulierung jetzt etwas zu "rechtslastig"... Big Laugh

04.04.2011, 17:18

Wodka4188

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also nur um das mal klar zu stellen: ich meinte auch nicht das umformen ist bescheuert, sondern mein lösungsweg.... und falsch war er ja nun auch... also entschuldigung, falls ich ein zu drastisches wort genommen haben sollte, aber ich war schon leicht angekratzt. sorry!

auf jeden fall hab ich jetzt für a=-1 und b=1/2 raus. ich hoffe das stimmt wenigstens.

grüße

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