Galois-Felder

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Cosinus Auf diesen Beitrag antworten »
Galois-Felder
Hallo,

kann mir jemand erkären was "Galois-Felder" sind???

THX smile
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Galois-Felder ist eine andere Bezeichnung für endliche Körper.
Lexikon:Endlicher Körper

Beispiele endlicher Körper sind
- die Restklassenkörper mit p prim
- , der bis auf Isomorphie einzige Körper mit genau 4 Elementen
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine Frage dazu, vielleicht hilft das auch der Threadopenerin weiter:

Sind alle endlichen Körper mit n Elementen bis auf Isomorphie gleich? (n beliebig, aber fest)

Gruß vom Ben
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Ben, das sind sie.
Ich denke gerade ueber einen Beweis nach. Will den wer hoeren?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich würde den gern sehen smile
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

1. Schritt:
Sei K ein endlicher Körper und P sein Primkörper (das ist der kleinste Teilkörper von K). Dann ist K ein endlich dimensionaler P-Vektorraum. Die Mächtigkeit von K ist also eine Potenz der Mächtigkeit von P. Da die Mächtigkeit eines endlichen Primkörpers stets eine Primzahl ist (Beweis separat falls gewünscht), ist die Mächtigkeit von K eine Primzahlpotenz.

2. Schritt:
Sei K ein Körper mit n = p^k Elementen, p prim, k aus N. Dann erfüllt jedes Element x aus K die Gleichung
x^n = x
(denn die multiplikative Gruppe von K hat die Ordnung n-1).
Wir betrachten das Polynom f = X^n - X als Polynom über dem Primkörper P. Der Zerfällungskörper von f über P ist also K.

3. Schritt:
Der Primkörper mit p Elementen ist bis auf Isomorphie eindeutig. Es ist genau Z/pZ = F_p.
(Beweis wenn gewünscht)

4.Schritt:
Der Zerfällungskörper eines Polynoms ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
(Beweis wenn gewünscht)


Aus diesen 4 Schritten folgt, dass ein endlicher Körper durch seine Mächtigkeit bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist.
 
 
Cosinus Auf diesen Beitrag antworten »

Hilfe geschockt :P...sorry, da kann ich nich mitreden....was haben diese Galois-Felder mit "Codes" oder "Codierung" zu tun???
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verbindung zwischen beidem ist wohl das "modulo-Rechnen".
Schau dir dazu mal http://de.wikipedia.org/wiki/RSA an.

Gruß vom Ben

Edit: Sorry, habe zur "Verschlüsselung" gepostet, "Codierung" ist eigentlich noch was anderes.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich keine Ahnung von Codierungstheorie habe, habe ich einfach mal danach gegooglet und prompt ein Vorlesungsskript gefunden:
www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/HM3/codes.ps

Vielleicht hilft dir das ja ein wenig. smile
Cosinus Auf diesen Beitrag antworten »

...womit kann man diese Datei öffnen?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Diese PostScript-Datei kannst du z.B. mit einem Programm namens GhostScript oeffnen.
Das findest du z.B. hier: http://www.cs.wisc.edu/~ghost/
Du brauchst "GhostScript" und entweder "GhostView" oder "GSView".
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