Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen

01.04.2011, 18:45

bananaboat

Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen

Ich bin etwas verwirrt, was die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen betrifft ... Also bei disjunkten Vereinigungen gilt doch die Additionsregel: $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B) \end{eqnarray*}$ aber dann habe ich noch diese Formel gefunden: $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ Wann gilt das denn jetzt? Bei nicht disjunkten Vereinigungen, oder wie? verwirrt

01.04.2011, 18:51

Calculator

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RE: Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen
Hallo Banana,

stimmt, die zweite Gleichung gilt bei nicht disjunkten Ereignissen.

LG

01.04.2011, 19:05

Math1986

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RE: Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen

Zitat:

Original von Calculator

stimmt, die zweite Gleichung gilt bei nicht disjunkten Ereignissen.

Natürlich gilt die Formel (Siebformel genannt) auch bei disjunkten Ereignissen!

Es ist
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-\underbrace{P\left(A\cap B\right)}_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right)=0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ (da disjunkt)

Die erstere Formel ist also eher ein "Spezialfall" der zweiten, die zweite gilt immer

01.04.2011, 19:13

bananaboat

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Alles klar, danke!
Wie genau berechnet man denn die Wahrscheinlichkeit der Durchschnittsmenge, also $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ?
Zum Beispiel: In einem Topf befinden sich 1 gelber, 1 grüner und 1 roter Gummibär. Man zieht 2 mal ohne Zurücklegen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse A={roter Bär im ersten Zug}, B={grüner Bär im 2. Zug) und C= $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)? \end{eqnarray*}$

Also für das Ereignis A gibt es ja zwei Möglichkeiten: Rot,Gelb und Rot, Grün
P{Rot, Gelb)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
P{Rot, Grün)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Also P(A)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Für das Ereignis B gibt es ebenfalls 2 Möglichkeiten: Rot, Grün und Gelb, Grün
P(Rot, Grün)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
P(Rot, Gelb)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Also P(B)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt weiß ich nicht genau, wie ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ berechne?

01.04.2011, 19:18

Math1986

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Zitat:

Original von bananaboat
P{Rot, Gelb)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
P{Rot, Grün)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Also P(A)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Du meintest oben wohl $\begin{eqnarray*} \frac 16 \end{eqnarray*}$ , sonst ist dies richtig
EDIT: Am Ende kommt natürlich $\begin{eqnarray*} \frac 26=\frac 13 \end{eqnarray*}$ raus
(man kann im Grunde das zweite Ereignis komplett ignorieren und sagen, dass die Wkeit, im ersten Zuge ein rotes Gummibärchen zu ziehen, $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ ist

Zitat:

Original von bananaboat
Für das Ereignis B gibt es ebenfalls 2 Möglichkeiten: Rot, Grün und Gelb, Grün
P(Rot, Grün)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
P(Rot, Gelb)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Also P(B)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Auch das ist richtig

Zitat:

Original von bananaboat
Aber jetzt weiß ich nicht genau, wie ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ berechne?

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ist doch gerade das Ereignis dass A UND B gemeinsam eintreten, wie sieht dieses Ereignis wohl aus und welche Wkeit hat es?

01.04.2011, 19:25

bananaboat

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Ups, ja, $\begin{eqnarray*} \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$ sind natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ^^

Na ja, das mit der Durchschnittsmenge hatten wir nur theoretisch, also das ist die Menge von Elementen, die in A UND B enthalten ist... ich weiß aber nicht, wie es bei diesem konkreten Beispiel ist ... verwirrt

01.04.2011, 19:29

Math1986

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Zitat:

Original von bananaboat
Na ja, das mit der Durchschnittsmenge hatten wir nur theoretisch, also das ist die Menge von Elementen, die in A UND B enthalten ist... ich weiß aber nicht, wie es bei diesem konkreten Beispiel ist ... verwirrt

Wo liegt das Problem?

Du suchst die Menge der Elemente die A UND B erfüllen, also der erste Gummibär ist Rot UND der zweite Gummibär ist grün

01.04.2011, 19:32

bananaboat

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Also wieder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ?

01.04.2011, 19:38

Math1986

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Zitat:

Original von bananaboat
Also wieder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ ?

01.04.2011, 19:43

bananaboat