MK berechnen

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04.12.2006, 11:18	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
MK berechnen Hallo, kann mir jemand bei der folgenden Umrechnung helfen? $\begin{eqnarray} P \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} (U_k < 0 ) \| I_0 = i_s \right) = \sum_{t=0}^{N} p_{st} \int_{0}^{\infty} P \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| Z_1 = z , I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) dG(z) \end{eqnarray}$ Die I's folgen dabei einer MK und sind unabhängig von z. z sei zudem i.d.d. und habe die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} G(z) = P (Z_1 \leq z ) \end{eqnarray}$ Ich glaube, dass die untere Integralgrenze falsch ist. Statt der Null müsste minus unendlich da stehen. Aber wo kommt die Summer her?
04.12.2006, 11:53	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach im Term auf der rechten Seite von innen nach außen die Bedingungen wegintegrieren bzw. -summieren, da ist nix besonderes dabei. Dazu solltest du aber noch sagen, dass $\begin{eqnarray} p_{st} = P(I_{m+1} = i_t \bigm\| I_m = i_s) \end{eqnarray}$ die Ü-Wkten deiner MK sind. Und dass dein $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ eine positive Zufallsgröße ist, ansonsten müsste man das Integrationsgebiet erweitern.
04.12.2006, 11:59	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also ist die untere Integrationsgrenze "0" richtig? z > 0 gilt natürlich. Wie sieht denn das "von innen nach außen die Bedingungen wegintegrieren bzw. -summieren" genau aus? Irgendwie passt das bei mir nicht...
04.12.2006, 12:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit bedingten Erwartungswerten ausgedrückt gilt $\begin{eqnarray} E(X) = E(E(X \bigm\| Y)) \end{eqnarray}$ , bzw. mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_Y \end{eqnarray}$ der reellen Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ geschrieben: $\begin{eqnarray} E(X) = \int\limits_{\mathbb{R}} ~ E(X \bigm\| Y=y) ~ \dd F_Y(y) \end{eqnarray}$ Das kann man auch für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nutzen, indem man einfach deren Indikatorfunktion nutzt, also $\begin{eqnarray} X=1_A \end{eqnarray}$ setzt. Dann wird daraus wegen $\begin{eqnarray} E(1_A)=P(A) \end{eqnarray}$ u.ä. $\begin{eqnarray} P(A) = \int\limits_{\mathbb{R}} ~ P(A \bigm\| Y=y) ~ \dd F_Y(y) \end{eqnarray}$ Das ist gewissermaßen eine Variante der Formel der totalen Wkt. Das gilt für beliebige Wahrscheinlichkeitsmaße $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , also auch für bedingte wie z.B. $\begin{eqnarray} P(E) := \tilde{P}( E \bigm\| B) \end{eqnarray}$ mit einer Bedingung $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und einem anderen W-Maß $\begin{eqnarray} \tilde{P} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \tilde{P}(A \bigm\| B) = \int\limits_{\mathbb{R}} ~ \tilde{P}(A \bigm\| Y=y, B) ~ \dd F_Y(y) \end{eqnarray}$ Und genau so eine Struktur liegt bei dir im Innern rechts vor.
04.12.2006, 19:41	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal. Das mit dem Integral und dG(z) macht natürlich Sinn. Aber woher bekomme ich dann die Summe? Müsste dann dort nicht auch ein Integral auftauchen?
04.12.2006, 20:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist im Prinzip auch ein Integral: ein Lebesgue-Integral über das Zählmaß. Aber das schreibt man gewöhnlich als Summe, und dann ist das die Formel der totalen Wkt in der bekannten diskreten Form: $\begin{eqnarray} P(A) = \sum_{t=0}^N P(A \bigm\| B_t)\cdot P(B_t) \end{eqnarray}$
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04.12.2006, 21:13	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, also ich versuche das einmal zusammen zu fassen: $\begin{eqnarray} P \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} (U_k < 0) \| I_0 = i_s \right) = \int_{\Bbb R} \int_{\Bbb R} P \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} (U_k < 0) \| Z_1 = z , I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) dP^{Z}(z) dP^{I_1} (i_s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum_{t=0}^{N} \int_{\Bbb R} P \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} (U_k < 0) \| Z_1 = z , I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) dP^{Z}(z)\underbrace{ P(I_1 = i_t )}_{ \underbrace{P(I_1 = i_t \| I_0 = i_S )}_{p_{st}} P(I_0 = i_s)} \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? Und was mach ich nun mit dem $\begin{eqnarray} P(I_0 = i_s ) \end{eqnarray}$ ? Das hab ich erstmal zuviel, oder was ist nun falsch gelaufen?
04.12.2006, 21:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde es schrittweise aufschreiben: $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{\infty} ~ P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| Z_1 = z , I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) ~ \dd G(z) &=& \int\limits_0^{\infty} ~ P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| Z_1 = z , I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) ~ \dd F_{Z_1}(z)\\ &=& P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \sum\limits_{t=0}^N ~ P(I_1 = i_t \| I_0 = i_s) \cdot P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| I_1 = i_t , I_0 = i_s \right) = P\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n+1} (U_k <0)\| I_0 = i_s \right) \end{eqnarray}$
04.12.2006, 21:33	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, super! Eine Frage hätte ich noch (ich habe immer noch eine Frage ): Du hast sicher gesehen, dass durch die Summe bis N ein abzählbarer Zustandsraum beschrieben wurde. Für den Überabzählbaren Fall würde ich genauso vorgehen, nur natürlich aus der Summe ein Integral machen. Geht das?
04.12.2006, 21:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip schon. Statt Ü-Wkt $\begin{eqnarray} P(I_1 = i_t \| I_0 = i_s) \end{eqnarray}$ hast du dann aber Ü.Verteilungsfkt, so in der Art $\begin{eqnarray} F_{I_1\|I_0}(s,t) = P(I_1 \leq t \| I_0 = s) \end{eqnarray}$ .
04.12.2006, 21:57	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dann integriere ich darüber von 0 bis unendlich, oder? Eins noch: wie machst du das R direkt unter dem Integral?
04.12.2006, 21:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du \int\limits ?
04.12.2006, 22:23	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Nee, ich glaube nicht. Mein R ist nicht direkt unter dem Integral, deins schon. Wie machst du das? Danke nochmal für Alles!
04.12.2006, 22:24	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube aber doch!
04.12.2006, 22:47	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Oki, ich sehe schon, du weisst was ich meine. Wie mach ich das denn?
04.12.2006, 22:57	EpseKarl	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie läßt du das d bei einem Integral normal erscheinen? Ich muss ja noch einiges hier lernen....
04.12.2006, 22:59	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Drück mal auf dem Zitat-Button rechts oben über meinem Beitrag, dann siehst du den vollständigen LaTeX-Quelltext der Formeln.

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