Pascalsche Dreieck

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02.04.2011, 12:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Pascalsche Dreieck Hallo, ich bin gerad am Pascalschen Dreieck und ich frage mich gerade, wieso die Addition der n-ten Zeile genau den Ausdruck $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ ergibt? z.B. $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ Zeile ist ja, $\begin{eqnarray} 1,5,10,10,5,1=32 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 32 \end{eqnarray}$ lässt sich als Potenz $\begin{eqnarray} 2^5 \end{eqnarray}$ schreiben. Das geht irgendwie mit jeder Zeile. Warum ist das so? Mal angenommen ich habe, $\begin{eqnarray} (a+b)^5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=1 \end{eqnarray}$ also, $\begin{eqnarray} (1+1)^5 \end{eqnarray}$ ergibt auch $\begin{eqnarray} 32 \end{eqnarray}$ Ich würde jetzt sagen, dass die Summe der $\begin{eqnarray} 32 \end{eqnarray}$ in Zeile $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ immer bleibt. Wenn man nun andere Zahlen berechnen möchte, $\begin{eqnarray} (2+3)^5 \end{eqnarray}$ Wird man die vorfaktoren auch mit der Summe von 32 multiplizieren.
02.04.2011, 13:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist dir die binomische Summenformel bekannt, $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k} \end{eqnarray}$ ? Damit kann man das schön zeigen.
02.04.2011, 13:43	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht, das war aber die Einführung in das Thema!
02.04.2011, 14:03	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe es nun in meinem Buch mit der Binomialkoeffizienten Notation erklärt bekommen. $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Wobei das n die Spalte des Dreiecks angibt und k das Glied. Nun mal ein Beispiel dazu, $\begin{eqnarray} \binom{7}{3}=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!(4)!} \end{eqnarray}$ Wie kann ich das nun vereinfachen?
02.04.2011, 14:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne die Fakultäten einfach aus und kürze weg was geht.
02.04.2011, 14:14	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, also gilt bei Fakultäten die selben Rechengesetze wie sonst auch
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02.04.2011, 14:19	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Fakultät ist einfach nur eine abkürzende Schreibweise: $\begin{eqnarray} n!=1\cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n =\prod\limits_{i=1}^n i \end{eqnarray}$ , du kannst also viel kürzen.
02.04.2011, 21:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin gerade an dem binomischen Lehrsatz $\begin{eqnarray} (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k} \end{eqnarray}$ Das mit den Binomialkoeffizienten ist mir nun bekannt, allerdings weiß ich nicht so recht was $\begin{eqnarray} a^kb^{n-k} \end{eqnarray}$ bedeutet, könnte mir das jemand erklären und vielleicht auch ein kleines Beispiel bei deren Berechnung bringen?
02.04.2011, 21:20	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray} (a+b)^2=\sum_{k=0}^2 \binom n k a^k b^{n-k} \end{eqnarray}$ ? Ibn Batuta
02.04.2011, 21:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte es so gemacht, $\begin{eqnarray} (a+b)^2=\sum_{k=0}^{2} \binom{2}{k} = \binom{2}{0}+\binom{2}{1}+\binom{2}{2}=1+2+1=4 \end{eqnarray}$ Wobei die 4 die Summe der Koeffizienten ist?
02.04.2011, 21:31	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wo die a und b abgeblieben sind. $\begin{eqnarray} (a+b)^2=\sum_{k=0}^2 \binom n k a^k b^{n-k}=\binom 2 0 a^0 b^{2-0}+\binom 2 1 a^1 b^{2-1}+\binom 2 2 a^2 b^{2-2}=... \end{eqnarray}$ Ibn Batuta
02.04.2011, 21:42	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich probier es mal anhand einer anderen Aufgabe, $\begin{eqnarray} (a+b)^5=\sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} a^{n-k}b^k=\binom{5}{0}a^{5-0}b^0+\binom{5}{1}a^{5-1}b^1+\binom{5}{2}a^{5-2}b^2+\binom{5}{3}a^{5-3}b^3+\binom{5}{4}a^{5-4}b^4+\binom{5}{5}a^{5-5}b^5 \end{eqnarray}$ Und das geht nur schriftlich?
02.04.2011, 21:43	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du noch vereinfachen. Was meinst du mit deiner Frage? Ibn Batuta
02.04.2011, 21:46	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich meine mein Taschenrechner kann sowas nicht verarbeiten Ich müsste nun also praktisch die jeweiligen Binomialkoeffizienten einzeln berechnen also sprich, $\begin{eqnarray} \binom{5}{0}=\frac{5!}{0!(5-0)!}=1 \end{eqnarray}$ Und $\begin{eqnarray} a^{5-0}b^0 \end{eqnarray}$ Das erste Glied wäre dann, $\begin{eqnarray} 1a^5+...+ \end{eqnarray}$ Das müsste ich nun so fortfahren?
02.04.2011, 21:47	Ibn Batuta	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ahnung. Da muß dir jemand anderes helfen, da ich keinen Taschenrechner besitze. Ibn Batuta
02.04.2011, 21:54	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, schonmal danke! Weiß da vielleicht jemand anderes bescheid?
02.04.2011, 22:02	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltest du erstmal sagen was für einen Taschenrechner du hast. Die Meisten haben zu mindest die Funktion für die Fakultät, einige auch für den Binomialkoeffizienten, in der Regel ist es die Funktion $\begin{eqnarray} \operatorname{nCr} \end{eqnarray}$ . Falls du einen CAS besitzt kann dieser das natürlich vereinfachen.
02.04.2011, 22:06	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist meiner http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Casio_fx-991ES_Calculator_New.jpg/220px-Casio_fx-991ES_Calculator_New.jpg
02.04.2011, 22:15	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht bringt dir diese Anleitung etwas?
02.04.2011, 22:25	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, erstmal danke. Ich belasse es erstmal bei der Theorie. Die Anwendung kommt sicher noch früh genug
02.04.2011, 22:27	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich hab den Taschenrechner selber nicht, ansonsten frag nochmal im Taschenrechnerforum nach.

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